Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Titik (0,b) adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran x2 + y2 = 16 dan (x − 8)2 + (y − 8)2 = 16 dengan sumbu Y. Nilai b adalah ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 222: Matematika Saintek
O adalah pusat lingkaran x2 + y2 = 16, dan
P adalah pusat lingkaran (x − 8)2 + (y − 8)2 = 16

Kedua lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama akibatnya garis singgung persekutuan luar akan sejajar dengan garis OP seperti yang diilustrasikan pada gambar di atas.

Gradiennya adalah \[m=\frac{y_P-y_O}{x_P-x_O}=\frac{8-0}{8-0}=1\] Dengan menggunakan rumus garis singgung lingkaran yang bergradien m \begin{split} & y=mx \pm r \sqrt{1+m^2}\\ \Rightarrow & y=x \pm 4 \sqrt{1+1^2}\\ \Rightarrow & y=x \pm 4 \sqrt{2} \end{split} Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y, substitusi x = 0 diperoleh y = ±4√2

Jadi titik nilai b adalah 4√2

Soal #2
Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga CD = 3 dan BC = 2. Jika AB = 1 dan ∠CAD = β maka cos2 β = ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 222: Matematika Saintek
\(AD=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\)
\(AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

Dengan menggunakan rumus selisih sudut \begin{split} & \cos \beta \\ = & \cos (\theta-\alpha)\\ = & \cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha\\ = & \frac{AB}{AD} \frac{AB}{AC} + \frac{BD}{AD} \frac{BC}{AC}\\ = & \frac{1}{\sqrt{26}} \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{5}{\sqrt{26}} \frac{2}{\sqrt{5}}\\ = & \frac{11}{\sqrt{130}}\\ \end{split} Jadi $\cos^2 \beta = \dfrac{121}{130}$

Soal #3
Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan (cos2 2x + 2sin2 2x)(cos2 2x − 2sin2 2x) = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2\(\pi\) adalah ...

Pembahasan
Misalkan cos2 2x = y maka sin2 2x = 1 − y, sehingga persamaan di atas dapat ditulis
\begin{split} & (y + 2(1-y))(y − 2(1-y)) = 1\\ \Rightarrow & (-y+2)(3y-2)=1\\ \Rightarrow & -3y^2+8y-4=1\\ \Rightarrow & -3y^2+8y-5=0\\ \Rightarrow & 3y^2-8y+5=0\\ \Rightarrow & (3y-5)(y-1)=0\\ \Rightarrow & y=\frac{5}{3} \vee y=1\\ \Rightarrow & \cos^2 2x = \frac{5}{3} \vee \cos^2 2x = 1 \end{split}
Tidak ada nilai x yang memenuhi $\cos^2 x = \dfrac{5}{3}$ akibatnya cos2 2x = 1

Jika cos2 2x = 1 maka cos 2x = 1 atau cos 2x = −1

Jika cos 2x = 1 maka x = 0 atau x = \(\pi\) atau x = 2\(\pi\)

Jika cos 2x = −1 maka x = $\dfrac{\pi}{2}$ atau x = $\dfrac{3\pi}{2}$

Jadi banyak nilai x yang memenuhi adalah 5

Soal #4
Titik (a,b) adalah hasil pencerminan titik (0,0) terhadap garis y = 2x + 3. Nilai dari a2 + b2 adalah ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 222: Matematika Saintek
Titik (a,b) terletak pada garis yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 3 dan melalui titik (0,0) yakni garis \(y=-\frac{1}{2}x\). Titik Potong kedua garis yang saling tegak lurus ini adalah (−6/5 , 3/5), sehingga koordinat bayangan titik (0,0) jika dicerminkan terhadap y = 3x − 4 adalah (2 × −6/5 , 2 × 3/5) = (−12/5 , 6/5).

Jadi a2 + b2 = 144/255 + 36/25 = 180/25 = 36/5

Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara bidang MNP dan garis FH, maka nilai sin α = ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 222: Matematika Saintek
Misalkan panjang rusuk kubus di atas adalah p. bidang MNP sejajar dengan bidang ACH sehingga α merupakan sudut antara bidang ACH dan garis FH. \begin{split} HR & =\sqrt{HD^2+DR^2}\\ & =\sqrt{p^2+\left(\frac{p\sqrt{2}}{2}\right)^2}\\ & =p \sqrt{\frac{3}{2}} \end{split} Jadi \begin{split} \sin \alpha & =\frac{QR}{HR}\\ & =\frac{p}{p \sqrt{\frac{3}{2}}}\\ & =\sqrt{\frac{2}{3}}\\ & = \frac{1}{3} \sqrt{6} \end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian f(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2, dan sisa pembagian x2 + f2(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah ax2 + bx + c, maka a + b + c= ...

Pembahasan
Misalkan
f = f(x)
h = h(x)
q = q(x) = x3 − 3x + 5
s = s(x) = 3x2 − 2

sisa pembagian f(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2 berarti 
f(x) = h(x)(x3 − 3x + 5) + 3x2 − 2 atau jika disederhanakan f = hq + s

f2 = h2q2 + 2hqs + s2 \begin{split} & x^2+f^2(x) \\ = & x^2+h^2q^2+2hqs+s^2\\ = & x^2+{\color{Blue} {h^2q^2+2hqs}}+s^2 \end{split} Suku-suku yang diwarnai biru habis dibagi q, sehingga tinggal mencari sisa pembagian x2 + s2 oleh q. \begin{split} & x^2+s^2\\ = & x^2+(3x^2-2)^2\\ = & 9x^4-11x^2+4 \end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun 9x4 − 11x2 + 4 dibagi oleh x3 − 3x + 5 diperoleh sisa 16x2 − 45x + 4. Sehingga a = 16, b = −45, dan c = 4

Jadi a + b + c = 16 + (−45) + 4 = −25

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}} \times \frac{\sqrt{x^2+1}+1}{\sqrt{x^2+1}+1}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)} \times \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{\frac{3x^5+4\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{3x +\frac{\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \frac{1}{\sqrt{0 + 1}(\sqrt{0+1}+1)}\\ = & \frac{1}{2} \end{split}


Soal #9
Jika a, b, c, d, dan e adalah bilangan real positif yang membentuk barisan aritmetika turun dan a, d, e membentuk barisan geometri, maka nilai $\dfrac{b}{e}$ = ...

Pembahasan
Misalkan barisan aritmatika di atas memiliki beda x maka
U1 = a
U2 = b = a + x
U3 = c = a + 2x
U4 = d = a + 3x
U5 = e = a + 4x

a, d, e membentuk barisan geometri maka \begin{split} & \frac{d}{a}=\frac{e}{d}\\ \Rightarrow & d^2 = ae\\ \Rightarrow & (a+3x)^2=a(a+4x)\\ \Rightarrow & a^2+6ax+9x^2=a^2+4ax\\ \Rightarrow & 2ax=-9x^2\\ \Rightarrow & 2a=-9x \end{split} Oleh karena itu \begin{split} \frac{b}{e} & = \frac{a+x}{a+4x}\\ & = \frac{2a+2x}{2a+8x}\\ & = \frac{-9x+2x}{-9x+8x}\\ & = \frac{-7x}{-1x}\\ & = 7 \end{split}

Soal #10
Misalkan f(x) = 3x4 − 4x3 + 2. Jika nilai minimum dan maksimum f(x) pada −2 ≤ x ≤ 2 berturut-turut adalah m dan M, maka m + M = ...

Pembahasan
Akan dicari titik nilai ekstrim pada interval −2 ≤ x ≤ 2 \begin{split} & f'(x) = 0\\ \Rightarrow & 12x^3 - 12x^2 = 0\\ \Rightarrow & 12x^2(x-1)=0\\ \Rightarrow & x=0 \vee x=1 \end{split} Selanjutnya hitung nilai ekstrim f
f(−2) = 3(−2)4 − 4(−2)3 + 2 = 82
f(0) = 3(0)4 − 4(0)3 + 2 = 2
f(1) = 3(1)4 − 4(1)3 + 2 = 1
f(2) = 3(2)4 − 4(2)3 + 2 = 18
diperoleh M = 82 dan m = 1

Jadi M + m = 83

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Suatu daerah dibatasi y = x2 dan y = 4. Jika garis y = k membagi luas daerah tersebut menjadi dua bagian yang sama maka k = ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 222: Matematika Saintek
\begin{split} & L_1 = L_2\\ \Rightarrow & L - L_2 = L_2\\ \Rightarrow & L = 2L_2\\ \Rightarrow & \int_{-2}^2 4-x^2 \ dx=2\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} k-x^2 \ dx\\ \Rightarrow & \left[4x-\frac{x^2}{3}\right]_{-2}^2=2\left[kx-\frac{x^2}{3}\right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}\\ \Rightarrow & \left(8-\frac{4}{3}\right)-\left(-8-\frac{4}{3}\right)=2\left(k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)-2\left(-k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)\\ \Rightarrow & 8-\frac{4}{3}+8+\frac{4}{3}=2k\sqrt{k}-\frac{2k}{3}+2k\sqrt{k}+\frac{2k}{3}\\ \Rightarrow & 16=4k\sqrt{k}\\ \Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\ \Rightarrow & k^{3/2}=4\\ \Rightarrow & k=4^{2/3} \end{split}


Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Soal #15
Diketahui tiga bilangan positif 2log a, 2log b, 2log c membentuk barisan aritmetika. Jika abc = 128, maka suku kedua barisan tersebut adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & ^2 \log abc = \ ^2 \log 128\\ \Rightarrow & ^2 \log a + \ ^2 \log b +\ ^2 \log c = 7\\ \Rightarrow & (\ ^2 \log b - x)+ \ ^2 \log b +(\ ^2 \log b + x)=7\\ \Rightarrow & 3 \cdot \ ^2 \log b = 7\\ \Rightarrow & ^2 \log b = \frac{7}{3} \end{split}

13 komentar

avatar

Gimana cara buat cepet mahaminnya :v pusing euy -_-"

avatar

Jangan mudah nyerah kalo susah paham,... kalo sudah paham pasti ada kebanggan tersendiri :D

avatar

nomor 2 gak salah tuh ? liat deh yang ditanya

avatar

nomor 3 juga, coba di cek lagi min ^^

avatar

Terima Kasih atas koreksinya, kami sudah perbaiki :)

avatar

Coba ditunjukkan gan untuk yg nomer tiga cek bagian mana

avatar

Nomor 4 bagaimana cara dapat y=-1/2x min

avatar

Terima kasih atas kunjungannya. Di soal diketahui garis y=2x+3, nah... gradien yang tegak lurus dengannya adalah -1/2 dan garis tersebut melalui (0,0). Jadi garis tersebut memiliki persamaan y=-1/2x

avatar

kok di laptop saya keliatannya masih pake bahasa komputer gitu ya, gk ngerti jadinya saya?

avatar

tlong kirimin pak jawaban soal nomor 1 please pak mohon

avatar

abyan.ramdhana1@gmail.com

avatar

No. 8 itu seharusnya 1/4. 4 nya kmn?

Click to comment