Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Diketahui dua lingkaran berpusat di titik O(0,0) ,berjari-jari r dan R dengan r < R. Sebuah garis menyinggung lingkaran dalam di titik E dan memotong lingkaran luar di titik P. Jika diketahui selisih antara luas lingkaran luar dan lingkaran dalam 36π dan ∠EOP = 60°, maka persamaan lingkaran luar adalah ...
Solusi #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 217: MATEMATIKA SAINTEK
Pada gambar di atas terlihat PO = R dan OE = r; kemudian dengan rumus pythagoras diperoleh

PE2 = PO2OE2 = R2r2

Selisih antara luas lingkaran luar dan lingkaran dalam 36π maka \begin{split} & \pi R^2 -\pi r^2 = 36 \pi\\ \Rightarrow & R^2 - r^2 = 36\\ \Rightarrow & PE^2 = 36\\ \Rightarrow & PE = 6 \end{split} Selanjutnya hitung panjang OP dengan rumus sinus \begin{split} & \sin 60^{\circ} = \frac{PE}{OP}\\ \Rightarrow & \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{OP}\\ \Rightarrow & OP = \frac{12}{\sqrt{3}}\\ \Rightarrow & OP = 4\sqrt{3}\\ \Rightarrow & R^2 = 48 \end{split}
Jadi persamaan lingkaran luar adalah x2 + y2 = 48

Soal #2
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah a, b, c maka cos 2A = ...
Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 217: MATEMATIKA SAINTEK

\begin{split} \cos 2A & = \cos^2 A - \sin^2 A\\ & = \left(\frac{b}{c}\right)^2 - \left(\frac{a}{c}\right)^2\\ & = \frac{b^2}{c^2} - \frac{a^2}{c^2} \\ & = \frac{b^2-a^2}{c^2} \end{split}
Jadi cos 2A = \(\frac{b^2-a^2}{c^2}\)

Soal #3
Fungsi f(x) = sec2 x − tan x sec x untuk 0 < x < 2π, x ≠ π/2, dan x ≠ 3π/2 naik pada interval ...
Solusi #3
f(x) naik jika f'(x) > 0 \begin{split}
& 2 \sec x \sec x \tan x - \sec^2 x \sec x - \tan x \sec x \tan x > 0\\
& (-\sec x)(-2 \sec x \tan x + \sec^2 x + \tan^2 x ) > 0\\
& (-\sec x)(\sec x - \tan x )^2 > 0\\
& -\sec x > 0\\
& \sec x < 0\\
& \cos x < 0\\
& 90^{\circ} < x < 270^{\circ}
\end{split}
Jadi f(x) naik pada interval 90° < x < 270°

Soal #4
Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap garis y = x − 1 menjadi titik (c,d), maka 2c + d = ...
Solusi #4
Untuk mempermudah pencerminan, lakukan translasi T(0,1) pada titik (a,b) dan garis y = x − 1 dengan kata lain titik (a,b) dan garis y = x − 1 digeser ke atas sejauh 1 satuan.

Setelah ditranslasi maka titik (a,b + 1) akan dicerminkan terhadap y = x sehingga diperoleh bayangan (b + 1,a).

Lakukan translasi T(0,−1) pada titik (b + 1,a) agar diperoleh bayangan yang sebenarnya yaitu (b+1,a−1). Ilustrasinya seperti ini

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 217: MATEMATIKA SAINTEK

Sehingga b + 1 = c dan a − 1 = d
Jadi 2c + d = 2b + 2 + a − 1 = a + 2b + 1

Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin α = ...
Solusi #5
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 217: Matematika Saintek
Misalkan panjang rusuk kubus di atas adalah p. bidang MNP sejajar dengan bidang ACH sehingga α merupakan sudut antara bidang ACH dan ACGE. \begin{split} HR & =\sqrt{HD^2+DR^2}\\ & =\sqrt{p^2+\left(\frac{p\sqrt{2}}{2}\right)^2}\\ & =p \sqrt{\frac{3}{2}} \end{split}
Jadi \begin{split} \sin \alpha & =\frac{HQ}{HR}\\ & =\frac{\frac{p\sqrt{2}}{2}}{p \sqrt{\frac{3}{2}}}\\ & =\frac{1}{3}\sqrt{3} \end{split}

Soal #6
Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x, sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian (f(x))2 + (g(x))2 oleh x − 1 adalah ...
Solusi #6
sisa pembagian (f(x))2 + (g(x))2 oleh x − 1 adalah (f(1))2 + (g(1))2 oleh karena itu akan dicari nilai dari f(1) dan g(1)

sisa pembagian f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x berarti
f(x) − g(x) = (x2 + x − 2)k(x) + x untuk suatu suku banyak k(x), substitusikan x = 1 diperoleh f(1) − g(1) = 1

sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti
f(x) + g(x) = (x2 − 3x + 2)h(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak h(x), substitusikan x = 1 diperoleh f(1) + g(1) = 2

Dengan menyelesaikan SPLDV
f(1) − g(1) = 1
f(1) + g(1) = 2

diperoleh f(1) = 3/2 dan g(1) = 1/2
Jadi sisa pembagiannya adalah (3/2)2 + (1/2)2 = 9/4 + 1/4 = 5/2

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}
Jadi nilai x yang memenuhi adalah x < 0

Soal #8
Nilai dari \[\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{1-\cos (x-2)}}{\sqrt{x^2-2x}}\]
Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{1-\cos (x-2)}}{\sqrt{x^2-2x}}\\ = & \lim_{x \to 2}\sqrt{\frac{2\sin^2\frac{x-2}{2}}{x^2-2x}}\\ = & \lim_{x \to 2}\sqrt{2\cdot \frac{\sin \frac{x-2}{2}}{x} \cdot \frac{\sin \frac{x-2}{2}}{x-2}}\\ = & \sqrt{2\cdot 0 \cdot \frac{1}{2}}\\ = & 0 \end{split}
Jadi jawabannya 0

Soal #9
Suat barisan geometri semua sukunya positif. Jika \(\frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\) maka \(\frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}=\ldots\)
Solusi #9
\begin{split} & \frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{a+ar}{ar^2+ar^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{1+r}{r^2+r^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & r^3+r^2=9r+9\\ \Rightarrow & r^2(r+1)=9(r+1)\\ \Rightarrow & r^2=9\\ \Rightarrow & r=3 \end{split} \begin{split} & \frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}\\ = & \frac{a+ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2}\\ = & \frac{1+r+r^2+r^3}{r+r^2}\\ = & \frac{1+3+9+27}{3+9}\\ = & \frac{40}{12}\\ = & \frac{10}{3}\end{split}
Jadi jawabannya adalah 10/3

Soal #10
Misalkan \(f(x)=a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}\) mempunyai titik belok di (4,13). Nilai a + b = ...
Solusi #10
\begin{split} f(x) & =a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}\\ & =ax^{1/2}+bx^{-1/2} \end{split} mempunyai titik belok di (4,13) berarti \begin{split} & a\sqrt{4}+\frac{b}{\sqrt{4}}=13\\ \Rightarrow & 2a+\frac{b}{2}=13\\ \Rightarrow & 4a+b=26 \end{split} dan \begin{split} & f''(4)=0\\ \Rightarrow & -\frac{1}{4}ax^{-3/2}+\frac{3}{4}bx^{-5/2}=0\\ \Rightarrow & -\frac{1}{4}a\cdot 4^{-3/2}+\frac{3}{4}b\cdot 4^{-5/2}=0\\ \Rightarrow & -\frac{1}{32}a+\frac{3}{128}b=0\\ \Rightarrow & -4a+3b=0 \end{split} Dengan menyelesaikan SPLDV \begin{split} & 4a+b=26 =0\\ -4a+3b=0 \end{split} diperoleh nilai a = 39/8 dan b = 13/2
Jadi a + b = 39/8 + 13/2 = 91/8

Soal #11
Diketahui f(x) = f(x + 2) untuk setiap x. Jika \(\int_0^2 f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7 f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2 f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1 f(x) \ dx + \int_1^2 f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1 f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2 f(x) \ dx = B-A\) \begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 2 \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 4 \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 6 \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}
Jadi \(\int_3^7 f(x+8) \ dx = 2B\)

Soal #12
Diketahui fungsi f(x) = xk dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva g, sumbu y dan y = 1. Jika kurva f membagi daerah D sama besar maka k = ...
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 217: MATEMATIKA SAINTEK
Berdasarkan ilustrasi di atas D1 = D2 \begin{split} & \int_0^1 1-x^k \ dx = \int_0^1 x^k-x \ dx\\ \Rightarrow & \left[x-\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_0^1=\left[\frac{x^{k+1}}{k+1}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1\\ \Rightarrow & 1-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & \frac{3}{2}=\frac{2}{k+1}\\ \Rightarrow & 3k+3=4\\ \Rightarrow & k=\frac{1}{3}\end{split}
Jadi k = 1/3

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...
Solusi #13
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54
Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...
Solusi #14
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 217: Matematika Saintek
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = √3

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Jadi nilai \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Soal #15
Diketahui tiga bilangan positif 2log a, 2log b, 2log c membentuk barisan aritmetika. Jika abc = 128, maka suku kedua barisan tersebut adalah ...
Solusi #15
\begin{split} & ^2 \log abc = \ ^2 \log 128\\ \Rightarrow & ^2 \log a + \ ^2 \log b +\ ^2 \log c = 7\\ \Rightarrow & (\ ^2 \log b - x)+ \ ^2 \log b +(\ ^2 \log b + x)=7\\ \Rightarrow & 3 \cdot \ ^2 \log b = 7\\ \Rightarrow & ^2 \log b = \frac{7}{3} \end{split}
Jadi suku keduanya adalah 7/3

Click to comment