Type something and hit enter

author photo
By On
Pertidaksamaan merupakan konsep matematika yang tidak jauh beda dengan persamaan. Perbedaannya hanya terletak pada tanda penghubung antara ruas kiri dan kanan, tanda hubung yang mungkin adalah tanda $\geq$, $\leq$, $ > $, atau $ < $. Materi pertidaksamaan telah diajarkan pada tingkat SMP maupun SMA, pada tingkat SMP hanya diajarkan sampai persamaan linier, sedangkan pada tingkat SMA diajarkan lebih jauh lagi seperti pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan nilai mutlak, pertidaksamaan eksponen, logaritma dan trigonometri.

Sifat-sifat Pertidaksamaan

Untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan pertidaksamaan perlu diketahui sifat-sifat pertidaksamaan sebagai berikut:

Untuk $a$, $b$ dan $p$ bilangan real, Jika $a > b$ maka
  1. $a \pm b > a \pm b$
  2. $ap > bp$ untuk $p > 0$
  3. $ap < bp$ untuk $p < 0$
  4. $a^n > b^n$ untuk n bilangan asli ganjil

Jika $a > b > 0$ maka
  1. $a^n > b^n$ untuk n bilangan asli
  2. $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

Jika $a > b$ dan $b > c$ maka $a > c$

Jika $a > b$ dan $c > d$ maka $a+c > b+d$

Menyelesaikan Pertidaksamaan

Ada tiga langkah untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan.

Langkah pertama, menentukan "syarat" dari penyelesaian suatu pertidaksamaan
  1. Jika pertidaksamaan memuat pecahan $\dfrac{1}{f(x)}$ maka syaratnya adalah $f(x) \neq 0$
  2. Jika pertidaksamaan memuat bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ maka syaratnya adalah $f(x) \geq 0$

Langkah kedua, menyelesaikan pertidaksamaan
  1. Biasanya salah satu ruas dibuat menjadi 0 (misalkan yang dibuat 0 adalah ruas kanan)
  2. Faktorkan ruas kiri
  3. Tentukan pembuat 0 dari hasil pemfaktoran
  4. Tuliskan pembuat 0 pada garis bilangan
  5. Uji beberapa titik selain pembuat nol dengan cara mensubstitusikannya ke pertidaksamaan kemudian berikan tanda memenuhi pertidaksamaan atau tidak memenuhi pertidaksamaan pada garis bilangan

Langkah ketiga, himpunan penyelesaiannya adalah irisan antara himpunan pada langkah pertama dan kedua di atas

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan linier merupakan pertidaksamaan yang memuat fungsi linier di ruas kiri atau kanannya. Pertidaksamaan linier tidak memiliki syarat untuk penyelesainnya, karena tidak termuat dalam akar ataupun variabel sebagai penyebut. Semua pertidaksamaan linier pasti memiliki penyelesaian pada himpunan bilangan real.

Contoh 1: Tentukan penyelesaian dari $4x+3 \geq 7$
Penyelesaian:
\begin{split}
& 4x+3 \geq 7\\
\Leftrightarrow & 4x+3\color{Blue}{-3} \geq 7\color{Blue}{-3}\\
\Leftrightarrow & 4x \geq 4\\
\Leftrightarrow & \dfrac{4x}{4} \geq \dfrac{4}{4}\\
\Leftrightarrow & x \geq 4
\end{split}Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari $4x+3 \geq 7x-15$
Penyelesaian:
\begin{split}
& 4x+3 \geq 7x-15\\
\Leftrightarrow & 4x+3\color{Blue}{-3} \geq 7x-15\color{Blue}{-3}\\
\Leftrightarrow & 4x \geq 7x-18\\
\Leftrightarrow & 4x\color{Blue}{-7x} \geq 7x-18\color{Blue}{-7x}\\
\Leftrightarrow & -3x \geq -18\\
\Leftrightarrow & \dfrac{-3x}{\color{Blue}{-3}} \color{Red}{\leq} \dfrac{-18}{\color{Blue}{-3}}\\
\Leftrightarrow & x \leq 6
\end{split} Pada langkah ke-5 tanda pertidaksmaan $\geq$ berubah menjadi $\leq$ karena kedua ruas dibagi bilangan negatif

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat merupakan peritidaksamaan yang memuat suku banyak berderajat dua. Pertidaksamaan juga tidak memiliki syarat penyelesaian seperti fungsi linier. Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat bisa memiliki tiga kemungkinan
  • Penyelesaiannya merupakan himpunan bagian dari bilangan real
  • Penyelesaiannya merupakan himpunan bilangan real
  • Tidak memiliki penyelesaian pada himpunan bilangan real

Contoh 3: Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi $x^2-2x-8 > 0$
Penyelesaian:
Faktorkan ruas kiri pertidaksamaan menjadi $$(x-4)(x+2) > 0$$ Dari faktor ruas kiri dan 0 pada ruas kanan diperoleh pembuat 0 pertidaksamaan tersebut adalah $$x-4=0 \text{ dan } x+2=0$$ atau jika ditulis dalam bentuk eksplisit untuk $x$ menjadi $$x=4 \text{ dan } x=-2$$ Kemudian buat garis bilangan yang diberikan tanda $x=4$ dan $x=-2$
Garis Bilangan Pertidaksamaan Kuadrat
Garis bilangan di atas terbagi menjadi tiga bagian yaitu $x < -2$, $-2 < x < 4$ dan $x > 4$. Pada setiap bagian uji nilai $x$ apakah memenuhi pertidaksamaan

Pada interval $x < -2$ pilih $x=-3$ untuk disubstitusikan ke pertidaksamaan. Diperoleh $x^2-2x-8 =(-3)^2-2(-3)-8 = 7 > 0$ (memenuhi pertidaksamaan)

Pada interval $-2 < x < 4$ pilih $x=0$ untuk disubstitusikan ke pertidaksamaan. Diperoleh $x^2-2x-8 =(0)^2-2(0)-8 = -8 > 0$ (tidak memenuhi pertidaksamaan)

Pada interval $x > 4$ pilih $x=5$ untuk disubstitusikan ke pertidaksamaan. Diperoleh $x^2-2x-8 =(5)^2-2(5)-8 = 7 > 0$ (memenuhi pertidaksamaan)

Garis Bilangan Pertidaksamaan Kuadrat
Dari ilustrasi di atas dapat diketahui penyelesaian dari $x^2-2x-8 > 0$ adalah $x < -2$ atau $x > 4$

Catatan: Biasanya untuk membedakan tanda interval tertutup dan terbuka digunakan bulatan berwarna hitam pada pembuat nol di garis bilangan untuk interval tertutup sedangkan berwarna putih untuk interval terbuka

Contoh 4: Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi $x^2-2x+1 \geq 0$
Penyelesaian:
Faktorkan menjadi $(x-1)(x-1)$, sehingga pertidaksamaan di atas akan menjadi $$(x-1)^2 \geq 0$$ ruas kiri merupakan bilangan kuadrat yang selalu lebih dari 0 untuk berapapun nilai $x$ yang disubstitusikan. Oleh karena itu penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah himpunan semua bilangan real.

Contoh 5: Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi $x^2-4x+10 < 0$
Penyelesaian:
Karena ruas kiri tidak bisa difaktorkan dengan cara biasa, ubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna
\begin{split}
& x^2-4x+10 < 0\\
\Leftrightarrow & x^2-4x < -10\\
\Leftrightarrow & x^2-4x +\left( \frac{4}{2}\right)^2< -10+\left( \frac{4}{2}\right)^2\\
\Leftrightarrow & x^2-4x +4< -10+4\\
\Leftrightarrow & (x-2)^2< -6
\end{split}Ruas kiri pada pertidaksamaan di atas merupakan bentuk kuadrat yang selalu positif, sedangkan di ruas kanan negatif dan dihubungkan dengan tanda kurang dari (Jika semesta pembicaraannya adalah bilangan real, tidak mungkin ada bilangan kuadrat yang kurang dari bilangan negatif). Jadi tidak ada $x$ yang memenuhi pertidaksamaan berapapun nilai $x$ tersebut.

Click to comment