Type something and hit enter

author photo
By On
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum $$ax^2+bx+c=0$$ dengan $a$, $b$ dan $c$ adalah bilangan real serta $a \neq 0$. Jelas bahwa jika $a=0$ maka akan terbentuk persamaan linier $0x^2+bx+c=0 \Rightarrow bx+c=0$.
Persamaan Kuadrat a b c
$x^2+x+1 = 0$ $1$ $1$ $1$
$x^2+x+1 = 0$ $1$ $2$ $3$
$2x^2-x+1 = 0$ $2$ $-1$ $1$
$-x^2-x = 0$ $1$ $1$ $0$
$-3x^2+4 = 0$ $3$ $0$ $4$
Pada persamaan kuadrat terdapat variabel yang tidak diketahui nilainya namun dapat dicari. Nilai dari variabel yang memenuhi persamaan kuadrat disebut dengan penyelesaian persamaan kuadrat. Untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada tiga cara yang bisa digunakan yaitu
  1. Pemfaktoran
  2. Kuadrat Sempurna
  3. Rumus ABC

Banyak Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Dengan menggunakan metode beberapa metode di atas, dapat diketahui bahwa sebuah persamaan mungkin memiliki dua penyelesaian, satu penyelesaian atau tidak memiliki penyelesaian. Nilai Diskriminan $D=b^2-4ac$ dapat digunakan untuk menentukan banyaknya penyelesaian persamaan kuadrat. Nilai diskriminan terdapat pada metode penyelesaian menggunakan rumus ABC $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$D > 0$ Dua Penyelesaian $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ atau $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$ Satu Penyelesaian $x=\dfrac{-b+\sqrt{0}}{2a}=-\dfrac{b}{2a}$
$D < 0$ Tidak Ada Penyelesaian Nilai $\sqrt{D}$ merupakan bilangan imajiner

Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika diberikan solusi persamaan kuadrat $x_1$ dan $x_2$ maka persamaan kuadratnya adalah $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$$ atau $$(x-x_1)(x-x_2)=0$$ Contoh: persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan −2 adalah
\begin{split} & x^2-(5+(−2))x+5 \cdot (−2)=0\\ \Rightarrow & x^2-3x-10=0 \end{split}

Rumus Jumlah, Perkalian dan Selisih Akar

Persamaan kuadrat akan memiliki penyelesaian yang sama jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama kecuali 0. Sekarang, jika kedua ruas persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dibagi dengan $a$ yang sudah pasti bukan $0$ akan diperoleh persamaan $$x^2\color{Blue}{+\dfrac{b}{a}}x\color{Green}{+\dfrac{c}{a}}=0$$ Kemudian bandingkan persamaan di atas dengan persamaan yang jika diketahui akar-akarnya $$x^2\color{Blue}{-(x_1+x_2)}x+\color{Green}{x_1x_2}=0$$ Dengan menyamakan koefisien kedua persamaan di atas didapatkan hubungan antara akar-akar $x_1$, $x_2$, dengan nilai $a$, $b$ dan $c$ yaitu $$\fbox{$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$} \text{ dan } \fbox{$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$}$$ Selain penjumlahan dan perkalian kedua akar di atas, ada juga rumus yang digunakan untuk menentukan selisih akar-akar persamaan kuadrat yaitu $$\fbox{$\left|x_1-x_2\right|=\left|\dfrac{\sqrt{D}}{a}\right|$}$$

Jenis - Jenis Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Sebelumnya telah dibahas banyaknya penyelesaian dari persamaan kuadrat. Ada persamaan yang tidak memiliki penyelesaian, satu penyelesaian atau yang memiliki dua penyelesaian. Untuk yang memiliki dua penyelesaian, kita bisa dapat mengetahui apakah kedua penyelesaian tersebut keduanya positif, keduanya negatif atau ada yang positif dan ada yang negatif (berbeda tanda) dengan aturan seperti berikut ini.


Jenis Penyelesaian Syarat 1 Syarat 2 Syarat 3
Kedua Penyelesaian Positif $D > 0$ $x_1+x_2 > 0$ atau $-\dfrac{b}{a} > 0$ $x_1x_2 > 0$ atau $\dfrac{c}{a} > 0$
Kedua Penyelesaian Negatif $D > 0$ $x_1+x_2 < 0$ atau $-\dfrac{b}{a} < 0$ $x_1x_2 > 0$ atau $\dfrac{c}{a} > 0$
Kedua Penyelesaian Berbeda Tanda $D > 0$ $x_1x_2 < 0$ atau $\dfrac{c}{a} < 0$

Click to comment