Type something and hit enter

author photo
By On
Fungsi Kuadrat dan Persamaan Kuadrat merupakan dua istilah yang hampir mirip tapi sebenarnya tak sama. Persamaan kuadrat biasanya berkaitan dengan pencarian akar-akar atau penyelesaian. Sedangkan fungsi kuadrat berkaitan dengan grafik dari sebuah fungsi.

Definisi Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum $$f(x)=ax^2+bx+c$$ dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$.
Apa yang akan terjadi jika $a=0$? Tentu bukan fungsi kuadrat karena $f(x)=0x^2+bx+c=bx+c$ yang merupakan fungsi linier

Sketsa Fungsi Kuadrat
Untuk mensketsa sebuah grafik pada koordinat kartesius, ada beberapa langkah yang harus dilakukan pertama kali, salah satunya adalah menentukan titik potong grafik dengan sumbu X. Sumbu X sendiri adalah garis yang memiliki persamaan $y=0$, dengan mensubstitusikan $y=0$ ke fungsi kuadrat $y=f(x)=ax^2+bx+c$ diperoleh $ax^2+bx+c=0$ yang merupakan sebuah persamaan kuadrat.

Berikut ini merupakan langkah-langkah mensketsa fungsi kuadrat
  1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat
    Substitusi $y=0$ untuk menentukan titik potong dengan sumbu X kemudian selesaikan persamaan dalam $x$
    Substitusi $x=0$ untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y kemudian selesaikan persamaan dalam $y$
  2. Menentukan titik potong puncak grafik
    Titik puncak dari fungsi adalah $\left(x_p,y_p\right)$ dengan $x_p=\dfrac{b}{-2a}$, $y_p=\dfrac{D}{-4a}$ dan $D=b^2-4ac$
  3. Menentukan grafik terbuka ke atas atau ke bawah
    Jika $a > 0$ maka grafiknya terbuka ke atas
    Jika $a < 0$ maka grafiknya terbuka ke bawah
  4. Hubungkan titik-titik yang ditemukan dengan kurva mulus

Contoh: Sketsa grafik $f(x)=-x^2+2x+8$
1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat
Substitusi $y=0$ untuk menentukan titik potong dengan sumbu X kemudian selesaikan persamaan dalam $x$
\begin{split}
& -x^2+2x+8=0\\\
\Rightarrow & x^2-2x-8=0\\
\Rightarrow & (x-4)(x+2)=0\\
\Rightarrow & x-4=0 \vee x+2=0\\
\Rightarrow & x=4 \vee x=-2
\end{split}Jadi titik potong dengan sumbu X adalah $(-2,0)$ dan $(4,0)$

Substitusi $x=0$ untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y
\begin{split}
& y=-0^2+2\cdot 0+8\\
\Rightarrow & y=8
\end{split}Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah $(0,8)$

2. Menentukan titik puncak
Terlebih dahulu hitung nilai dari Diskriminan $$D=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot 8=36$$ Kemudian $$x_p=\frac{b}{-2a}=\frac{2}{-2(-1)}=1$$ $$y_p=\dfrac{D}{-4a}=\dfrac{36}{-4(-1)}=9$$ Jadi titik puncaknya adalah $(1,9)$

3. Terbuka ke atas atau ke bawah
Karena $a = −1 < 0$ maka grafiknya terbuka ke bawah

4. Sketsanya seperti gambar di bawah ini
Fungsi Kuadrat

Hubungan antara $a$, $b$, $c$, $D$ dengan grafik fungsi kuadrat
  1. $a$ menentukan ke "arah" mana grafik terbuka
    Jika $a > 0$ maka grafiknya terbuka ke atas
    Jika $a < 0$ maka grafiknya terbuka ke bawah
  2. $b$ menentukan posisi grafik terhadap sumbu Y
    Jika $a \times b > 0$, puncak grafik terletak di kiri sumbu Y
    Jika $b=0$, puncak grafik terletak di sumbu Y
    Jika $a \times b < 0$, puncak grafik terletak di kanan sumbu Y
    Fungsi Kuadrat
  3. $c$ menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y
    Jika $c > 0$, grafik memotong sumbu Y positif di titik $(0,c)$
    Jika $c = 0$, grafik melalui titik asal atau titik $(0,0)$
    Jika $c < 0$, grafik memotong sumbu Y negatif di titik $(0,c)$

  4. $D$ menentukan banyak titik potong grafik dengan sumbu X
    Jika $D > 0$, terdapat dua titik potong dengan sumbu X
    Jika $D =0$, terdapat satu titik potong dengan sumbu X [grafik menyinggung sumbu-x]
    Jika $D < 0$, tidak ada titik potong dengan sumbu X [Kondisi ini disebut dengan definit]


Definit
Definit adalah kondisi grafik fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu X dan ditandai dengan nilai $D < 0$. Definit dibagi menjadi dua macam yaitu
  1. Definit Positif, seluruh grafiknya terletak di atas sumbu X, syaratnya $D < 0$ dan $a > 0$
  2. Definit Negatif, seluruh grafiknya terletak di bawah sumbu X, syaratnya $D < 0$ dan $a < 0$

Menentukan fungsi kuadrat
  1. Jika diketahui titik puncaknya $(x_p,y_p)$ gunakan rumus \[y=a(x-x_p)^2+y_p\]
  2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X adalah $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ gunakan rumus \[y=a(x-x_1)(x-x_2)\]
  3. Jika diketahui tiga titik lain selain puncak dan titik potong sumbu X gunakan rumus umum \[y=ax^2+bx+c\]

Garis dan Grafik Fungsi Kuadrat
Ada tiga kondisi yang mungkin dari grafik fungsi kuadrat $y=f(x)=ax^2+bx+c$ dan sebuah garis $y=mx+n$ tergantung dari diskriminan persamaan hasil substitusi persamaan garis dan fungsi kuadrat. Substitusikan persamaan garis ke fungsi kuadrat sehingga diperoleh \begin{split} & ax^2+bx+c=mx+n\\ \Rightarrow & ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 \end{split} Kemudian hitung nilai Diskriminan dari persamaan kuadrat di atas
  1. Jika $D > 0$, garis memotong grafik fungsi kuadrat di dua titik berbeda
  2. Jika $D = 0$, garis memotong grafik fungsi kuadrat hanya di sebuah titik atau menyinggung
  3. Jika $D < 0$, garis tidak berpotongan ataupun bersinggungan dengan grafik fungsi kuadrat

1 komentar:

avatar

Izin copas ya buat tugas kuliah
Thank you

Click to comment