Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Dua Lingkaran L1 dan L2 berpusat pada sumbu-X dengan radius R1 = 2 dan R2 = 4. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung L1 di F dan L2 di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu-X di Q sehingga luas AFQ adalah 5 satuan luas dengan A adalah pusat L1. Panjang FG adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 238: MATEMATIKA SAINTEK
Perhatikan gambar di atas, FG merupakan garis singgung kedua lingkaran akibatnya AF tegak lurus FG dan BG juga tegak lurus QG.

Oleh karena itu AFQ merupakan segitiga siku-siku di F yang luasnya 5. \begin{split} & \frac{1}{2} \times AF \times FQ =5 \\ \Rightarrow & \frac{1}{2} \times 2 \times FQ =5 \\ \Rightarrow & FQ =5 \end{split} Segitiga AFQ sebangun dengan segitiga BGQ \begin{split} & \frac{AF}{BG}=\frac{FQ}{QG}\\ \Rightarrow & \frac{2}{4}=\frac{5}{QG}\\ \Rightarrow & QG = 10 \end{split} Jadi FG = FQ + QG = 5 + 10 = 15

Soal #2
Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga CD = 3 dan BC = 2. Jika AB = 1 dan ∠CAD = β maka sin2 β = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 238: MATEMATIKA SAINTEK
\(AD=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\)
\(AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) \begin{split} \sin \beta & = \sin ((\alpha+\beta)-\alpha)\\ & = \sin (\alpha+\beta) \cos \alpha - \cos (\alpha+\beta) \sin \alpha\\ & = \frac{5}{\sqrt{26}} \frac{1}{\sqrt{5}}- \frac{1}{\sqrt{26}} \frac{2}{\sqrt{5}}\\ & = \dfrac{3}{\sqrt{130}} \end{split} Jadi sin2 β = $\dfrac{9}{130}$

Soal #3
Diketahui 2sin2 t − 2sin t = 1 − csc t dengan 0 < t < 2π, t ≠ π. Banyak anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & 2\sin^2 t - 2\sin t = 1 - \csc t\\ \Rightarrow & 2\sin^2 t - 2\sin t = 1 - \frac{1}{\sin t}\text{ kalikan dengan }\sin t\\ \Rightarrow & 2\sin^3 t - 2\sin^2 t = \sin t - 1 \text{ misalkan } x=\sin t\\ \Rightarrow & 2x^3-2x^2=x-1\\ \Rightarrow & 2x^3-2x^2-x+1=0\\ \Rightarrow & (x-1)(2x^2-1)=0\\ \Rightarrow & x=1 \vee 2x^2=1\\ \Rightarrow & x=1 \vee x=\frac{1}{\sqrt{2}} \vee x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{split}
Jika x = sin t = 1 maka t = $\dfrac{\pi}{2}$
Jika x = sin t = $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ maka t = $\dfrac{\pi}{4}$ atau t = $\dfrac{3\pi}{4}$
Jika x = sin t = $−\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ maka t = $\dfrac{5\pi}{2}$ atau t = $\dfrac{7\pi}{4}$

Jadi banyak anggota himpunan penyelesaiannya ada sebanyak 5

Soal #4
Titik (a,b) adalah hasil pencerminan titik (0,0) terhadap garis y = 3x − 4. Nilai dari a2 + b2 adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 238: MATEMATIKA SAINTEK
Titik (a,b) terletak pada garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x − 4 dan melalui titik (0,0) yakni garis $y=-\frac{1}{3}x$. Titik Potong kedua garis yang saling tegak lurus ini adalah $\left(\frac{6}{5},−\frac{2}{5}\right)$, sehingga koordinat bayangan titik $(0,0)$ jika dicerminkan terhadap  y = 3x − 4 adalah $\left(2 \cdot \frac{6}{5} , 2 \cdot −\frac{2}{5}\right) = \left(\frac{12}{5} , −\frac{4}{5}\right)$ = (a,b).

Sehingga a2 + b2 = $\frac{144}{25}+\frac{16}{25}$ = $\frac{160}{25}$ = $\frac{32}{5}$

Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin α = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 238: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan panjang rusuk kubus di atas adalah p. bidang MNP sejajar dengan bidang ACH sehingga α merupakan sudut antara bidang ACH dan ACGE. \begin{split} HR & =\sqrt{HD^2+DR^2}\\ & =\sqrt{p^2+\left(\frac{p\sqrt{2}}{2}\right)^2}\\ & =p \sqrt{\frac{3}{2}} \end{split} Jadi \begin{split} \sin \alpha & =\frac{HQ}{HR}\\ & =\frac{\frac{p\sqrt{2}}{2}}{p \sqrt{\frac{3}{2}}}\\ & =\frac{1}{3}\sqrt{3} \end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian f(x) oleh x2 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2, dan sisa pembagian (x + f(x))2 oleh x3 − 3x + 5 adalah ax2 + bx + c, maka a − b − c = ...

Pembahasan
Misalkan
f = f(x)
h = h(x)
q = q(x) = x3 − 3x + 5
s = s(x) = 3x2 − 2
f = hq + s maka f2 = h2q2 + 2hqs+ s2 \begin{split} &(x+f(x))^2 \\ = & (x+f)^2\\ = & x^2+2xf+f^2\\ = & x^2+2x(hq+s)+(h^2q^2+2hqs+s^2)\\ = & x^2+{\color{Blue} {2xhq}}+2xs+{\color{Blue} {h^2q^2}}+{\color{Blue} {2hqs}}+s^2 \end{split} Suku-suku yang diwarnai biru habis dibagi q, sehingga tinggal mencari sisa pembagian x2 + 2sx + s2 oleh q. \begin{split} & x^2+2xs+s^2\\ = & x^2+2x(3x^2-2)+(3x^2-2)^2\\ = & 9x^4+6x^3-11x^2-4x+4 \end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun 9x4 + 6x3 − 11x2 − 4x + 4 dibagi oleh x2 − 3x + 5 diperoleh sisa 16x2 − 31x − 26. Sehingga a = 16, b = − 31, dan c = 26

Jadi a − b − c = 16 − (−31) − (−26) = 73

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim_{h \to 0}\limits \frac{\cos(2x+h)-\cos(2x-h)}{h\sqrt{4-h}}=\dots$

Pembahasan
Subsitusikan u = 2xh \begin{split} & \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+2h)-\cos(u)}{h\sqrt{4-h}}\\ = & 2 \ {\color{Blue} {\lim_{h \to 0} \left(\frac{\cos(u+2h)-\cos(u)}{2h}\right)}}\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4-h}}\\ = & 2 \lim_{h \to 0} {\color{Blue} {-\sin (u)}} \ \frac{1}{2}\\ = & \lim_{h \to 0} -\sin (2x-h)\\ = & -\sin 2x \end{split}

Soal #9
Diketahui barisan geometri (an) dengan deret takhingganya bernilai 6. Jika barisan geometri (an2) mempunyai deret takhingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan (an) adalah ...

Pembahasan
barisan geometri (an) dengan deret takhingganya bernilai 6 maka \[\frac{a_1}{1-r}=6 \Rightarrow a_1=6(1-r)\] Misalkan (an) memiliki rasio r maka (an2) memiliki rasio r2 serta deret takhingganya bernilai 18, akibatnya \begin{split} & \frac{a_1^2}{1-r^2}=18\\ \Rightarrow & \frac{(6(1-r))^2}{1-r^2}=18\\ \Rightarrow & \frac{36(1-r)(1-r)}{(1-r)(1+r)}=18\\ \Rightarrow & \frac{1-r}{1+r}=\frac{18}{36}\\ \Rightarrow & \frac{1-r}{1+r}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & r=\frac{1}{3} \end{split} Substitusikan $r = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan a1 = 6(1 − r) \begin{split} a_1 & =6(1-r)\\ & =6\left(1-\frac{1}{3}\right)\\ & =6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \end{split}

Soal #10
Misalkan f(x) = x3 + 2x2 + a dan g(x) = x + a berpotongan di sumbu X, dengan a bilangan bulat. Nilai minimum f(x) di interval −1 ≤ x ≤ 2 adalah ...

Pembahasan
f(x) dan g(x) berpotongan maka persamaan f(x) = g(x) memiliki penyelesaian \begin{split} & x^3 + 2x^2 + a = x + a\\ \Rightarrow & x^3 + 2x^2 - x = 0\\ \Rightarrow & x(x^2+2x-1) = 0\\ \Rightarrow & x = 0 \text{ atau } (x^2+2x-1)=0 \end{split} Persamaan kuadrat di atas tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat, jadi haruslah x = 0. Akibatnya f(x) dan g(x) memotong sumbu X di x = 0 dengan kata lain f(x) dan g(x) melalui titik (0,0).

Karena melalui titik (0,0) maka f(0) = 0 atau 0 + a = 0, diperoleh a = 0

sehingga f(x) = x3 + 2x2

f(x) maksimum jika f'(x) = 0 atau 3x2 + 4x = 0, dengan menyelesaikannya diperoleh x = 0 atau x = −4/3 tetapi x = −4/3 tidak dalam interval −1 ≤ x ≤ 2

Kemudian hitung nilai f ketika x = 0, dan ketika x merupakan ujung interval
f(−1) = 1
f(0) = 0
f(2) = 16

Jadi nilai minimum f(x) adalah 0

Soal #11
Diketahui f(x) = f(x + 2) untuk setiap x. Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 2 \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 4 \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 6 \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & I_1+I_2+I_3\\ = & B-A+B+A\\ = & 2B \end{split}

Soal #12
Diketahui suatu fungsi f(x) = xk dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva g, sumbu x dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi D1 dan D2 dengan perbandingan 1 : 2. Jika D1 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g, maka k = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
\begin{split} & \frac{D_1}{D_2}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & 2D_1=D_2\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x-x^k \ dx = \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x \ dx - 2 \int_0^1 x^k \ dx = \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x \ dx = 3 \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = 3 \left[\frac{1}{k+1}x^{k+1}\right]_0^1\\ \Rightarrow & 1 = \frac{3}{k+1}\\ \Rightarrow & k=2 \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 251: MATEMATIKA SAINTEK

Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = √3

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}

Soal #15
Nilai k antara 0 dan π yang membuat \(\int_0^k\limits \sin^2 x \ \cos x \ dx\) maksimum adalah...

Pembahasan
Misal \(f(k)=\int_0^k\limits \sin^2 x \ \cos x \ dx\)

f(k) maksimum jika f'(k) = 0 yaitu f'(k) = sin2 k cos k = 0

Jika sin2 k = 0, maka tidak ada nilai k antara 0 dan π yang memenuhi persamaan tersebut.

Jika cos k = 0, nilai k antara 0 dan π yang memenuhi persamaan di atas adalah $\dfrac{\pi}{2}$

Click to comment