Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 240: Matematika Saintek
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameteri pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ...
Solusi #1
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 240: Matematika Saintek
Misalkan $EA = x$ maka $EF=x$ dan $DE=12-x$. Kemudian dengan rumus pythagoras
\begin{split}
& CD^2+DE^2=CE^2\\
\Rightarrow & 12^2+(12-x)^2=(12+x)^2\\
\Rightarrow & 144+144-24x+x^2=144+24x+x^2\\
\Rightarrow & 144=48x\\
\Rightarrow & x=3
\end{split} Jadi \begin{split}
CE & =CF+FE\\
& =12+3\\
& =\fbox{15}
\end{split}

Soal #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 240: MATEMATIKA SAINTEK
Jika keliling kedua segitiga sama panjang, maka x = ...
Solusi #2
Karena sudut ABD = 30° maka AD = \(\frac{1}{2}\) dan AB = \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

Misalkan BC = y dan keliling kedua segitiga sama \begin{split}
& AB + BD + AD = BD + DC + BC\\
& \frac{1}{2}\sqrt{3} + 1 +\frac{1}{2} = 1+x+y \\
& y = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}-x\\
& y = p - x \text{ ...(1)}
\end{split} dengan \(p=\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\)

Diketahui segitiga BDC juga siku-siku di D maka berlaku rumus pythagoras \begin{split}
& BC^2 = BD^2 + DC^2\\
& y^2 = 1 + x^2 ...(2)
\end{split}
Substitusikan persamaan (1) ke (2) \begin{split}
& \left(p - x\right)^2 = 1+ x^2\\
& p^2 -2 px +x^2 = 1+x^2\\
& p^2 -2 px = 1\\
& \left(\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\right)^2 -2 x \left(\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\right) = 1\\
& \frac{1}{4}(\sqrt{3}+1)^2-(\sqrt{3}+1)x=1\\
& \frac{1}{4}(\sqrt{3}+1)^2-1=(\sqrt{3}+1)x\\
& (\sqrt{3}+1)x=\frac{(\sqrt{3}+1)^2-4}{4}\\
& \fbox{$x=\frac{(\sqrt{3}+1)^2-4}{4(\sqrt{3}+1)}$}
\end{split}

Soal #3
Fungsi $f(x)=\sec^2 x - \tan x \sec x$ untuk $0 < x < 2\pi$, $x \neq \frac{\pi}{2}$, dan $x \neq \frac{3π}{2}$ naik pada interval ...
Solusi #3
$f(x)$ naik jika $f'(x) > 0$
\begin{split}
& 2 \sec x \sec x \tan x - \sec^2 x \sec x - \tan x \sec x \tan x > 0\\
\Rightarrow & (-\sec x)(-2 \sec x \tan x + \sec^2 x + \tan^2 x ) > 0\\
\Rightarrow & (-\sec x)(\sec x - \tan x )^2 > 0\\
\Rightarrow & -\sec x > 0\\
\Rightarrow & \sec x < 0\\
\Rightarrow & \cos x < 0\\
\Rightarrow & \fbox{$90^{\circ} < x < 270^{\circ}$}
\end{split}

Soal #4
Jika titik (s,t) dirotasi sejauh 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat, kemudian dicerminakan terhadap y = t diperoleh titik (−2,3 − t), maka s + 3t = ...
Solusi #4
bayangan titik (s,t) jika dirotasi sejauh 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat adalah titik (t,−s)

bayangan titik (t,−s) jika dicerminkan terhadap y = t adalah (t,2t + s) = (−2, 3 − t)

t = −2
2t + s = 3 − t maka −4t + s = 3 maka −8 + s = 3 atau s = 11

Jadi s + 3t = 11 − 6 = $\fbox{5}$

Soal #5
Suatu bangun ruang dengan alas berbentuk persegi panjang ABCD dengan AB = 2 cm dan CD = 3 cm. Sisi tegaknya AE = DH = 2 cm, BF = CG = 1,5 cm. Jika K titik tengah EH, L titik tengah FG, dan $\alpha$ adalah sudut antara HB dan KL maka cos $\alpha$ adalah ...
Solusi #5
 SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 240: MATEMATIKA SAINTEK
KL sejajar dengan HG maka $\alpha$ juga merupakan sudut antara HB dan HG.

Perhatikan segitiga BGH \[BG=\sqrt{3^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}\] \[HG=\sqrt{2^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{17}{4}}\] \[HB=\sqrt{3^2+2^2+2^2}=\sqrt{17}\] Dengan aturan cosinus \begin{split} \cos \alpha & = \frac{HB^2+HG^2-BG^2}{2 \cdot HB \cdot HG}\\ & = \frac{17+\frac{17}{4}-\frac{45}{4}}{2\ \sqrt{17} \ \sqrt{\frac{17}{4}}}\\ & = \fbox{$\frac{10}{17}$} \end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian f(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2, dan sisa pembagian x4 + f(x)2 oleh x3 − 3x + 5 adalah ax2 + bx + c, maka a b c = ...
Solusi #6
Misalkan
f  = f(x)
h = h(x)
q = q(x) = x3 − 3x + 5
s = s(x) = 3x2 − 2
f = hq + s maka f2 = h2q2 + 2hqs + s2 \begin{split}& x^4+f(x)^2 \\= & x^4+f^2\\ = & x^4+{\color{Red} {h^2q^2}}+{\color{Red} {2hqs}}+s^2 \end{split} Suku-suku yang berwarna merah habis dibagi q, sehingga tinggal mencari sisa pembagian x4 + s2 oleh q. \begin{split} & x^4+s^2\\ = & x^4+(3x^2-2)^2\\ = & 10x^4-12x^2+4 \end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun 10x4 − 12x2 + 4 dibagi oleh x2 − 3x + 5 menghasilkan sisa 18x2 − 50x + 4. Sehingga a = 18, b = −50, dan c = 4.

Jadi a + b + c = $\fbox{−28}$

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik \(y = 3^x+1\) jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan \(3^x = y\) \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ \Rightarrow & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ \Rightarrow & 2y^3-1 < y^2\\ \Rightarrow & 2y^3-y^2-1 < 0\\ \Rightarrow & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena \(2y^2+y+1\) definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & \fbox{$x < 0$} \end{split}

Soal #8
$\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{1-\sqrt{\sin^2 x + 1}}{\sqrt{\sin^2 x + 1}-\sqrt{1- \sin^2 x }}=\ldots$
Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{\sin^2 x + 1}}{\sqrt{\sin^2 x + 1}-\sqrt{1- \sin^2 x }}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{\sin^2 x + 1}}{\sqrt{\sin^2 x + 1}-\cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{{\color{Red} {1-\sqrt{\sin^2 x + 1}}}}{{\color{Blue}{\sqrt{\sin^2 x + 1}-\cos x}}}\\ & \times \frac{{\color{Red} {1+\sqrt{\sin^2 x + 1}}}}{{\color{Red} {1+\sqrt{\sin^2 x + 1}}}}\\ & \times \frac{{\color{Blue}{\sqrt{\sin^2 x + 1}+\cos x}}}{{\color{Blue}{\sqrt{\sin^2 x + 1}+\cos x}}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1-(\sin^2 x + 1)}{\sin^2 x + 1-\cos^2 x}\\ & \times \frac{{\color{Red} {1+\sqrt{\sin^2 x + 1}}}}{{\color{Blue}{\sqrt{\sin^2 x + 1}+\cos x}}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{2 \sin^2 x}\frac{1+\sqrt{\sin^2 x + 1}}{\sqrt{\sin^2 x + 1}+\cos x}\\ = & -\frac{1}{2}\frac{1+1}{1+1}\\ = & \fbox{$-\frac{1}{2}$} \end{split}

Soal #9
Misalkan semua suku dari deret geometri adalah positif dan diketahui perbandingan suku ke-6 dan ke-4 dari deret tersebut adalah 16. Jika kuadrat suku pertama sama dengan rasionya, maka jumlah empat suku pertama deret geometri adalah ...
Solusi #9
\[\frac{U_6}{U_4}=\frac{ar^5}{ar^3}=16 \Rightarrow r=4\] \[a^2=4 \Rightarrow a =2\] Jadi \begin{split} & U_1+U_2+U_3+U_4\\ = & 2 + 8 + 32 + 128\\ = & \fbox{170} \end{split}

Soal #10
Diketahui f(x) = x3 + ax + 2. Jika nilai maksimum f(x) pada interval 0 ≤ x ≤ 1 terjadi pada x = 0, maka nilai terbesar dari a adalah ...
Solusi #10
f(x) maksimum saat x = 0 pada interval 0 ≤ x ≤ 1 jika f(0) ≥ f(x) \begin{split} & f(0) \geq f(x)\\ \Rightarrow & 2 \geq x^3+ax+2\\ \Rightarrow & x^3+ax \leq 0\\ \Rightarrow & x^2+a \leq 0\\ \Rightarrow & a \leq -x^2\\ \Rightarrow & a \leq -1 \end{split} Jadi nilai maksimum dari a adalah $\fbox{−1}$

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & \fbox{$2B$}
\end{split}

Soal #12
Luas daerah di antara kurva y = 2a + 1 dan kurva y = x2 + 2a selalu bernilai konstan, yaitu k. Nilai dari k adalah ...
Solusi #12
Akan dicari titik potong antara kedua kurva \begin{split} & 2a+1=x^2+2a\\ \Rightarrow & 1-x^2=0\\ \Rightarrow & x=1 \vee x=-1 \end{split}
\begin{split} k & = \int_{-1}^{1} 1-x^2 \ dx\\ & = \left[x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{1}\\ & = \fbox{$\frac{4}{3}$} \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap \(n = abc\) dengan tiga digit sehingga \(3 < b < c\) adalah ...
Solusi #13
ilai \(c\) yang mungkin adalah 6 atau 8.

Jika \(c = 6\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\); terdapat 2 kemungkinan.

Jika \(c = 8\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\) atau \(b = 6\) atau \(b = 7\); terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar \(3 < b < c\) ada sebanyak 6.

Nilai \(a\) yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk \(a\), sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = $\fbox{54}$

Soal #14
Garis singgung kurva \(y = 3 − x^2\) di titik \(P(−a,b)\) dan \(Q(a,b)\) memotong sumbu \(y\) di titik \(R\). Nilai \(a\) yang membuat segitiga \(PQR\) sama sisi adalah ...
Solusi #14
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 240: Matematika Saintek
Karena segitiga \(PQR\) sama sisi, maka \(\theta = 60^{\circ}\), sehingga gradien garis singgung yang melalui \(P\) adalah \(\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}\)

Gradien garis singgung di titik \(P\) merupakan nilai turunan pertama \(y\) di titik \((-a,b)\). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\fbox{$\frac{\sqrt{3}}{2}$} \end{split}

Soal #15
Jika $f(x) = Ax^2 + Bx$ sehingga $f'(0)$, $\int_0^2\limits f(x) \ dx$, dan $f(2)$ berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka nilai $\dfrac{A}{B}=\ldots$
Solusi #15
$f'(0) = B$

$\int_0^2\limits Ax^2+Bx \ dx = \frac{8A}{3}+2B$

$f(2) = 4A + 2B$

Karena barisan aritmatika \begin{split} & 2\left(\frac{8A}{3}+2B\right)=4A+2B+B\\ \Rightarrow & \frac{16A}{3}+4B=4A+3B\\ \Rightarrow & \frac{16A}{3}=4A-B\\ \Rightarrow & 16A=12A-3B\\ \Rightarrow & 4A=-3B\\ \Rightarrow & \frac{A}{B}=-\frac{3}{4} \end{split}

2 komentar

avatar

Saya bertanya solusi #1 kok bisa EF=FA?? Terus kok bisa CF=12?? Tolong kirim juga jawabannya ke tumeskecil@gmail.com

avatar

Karena EF dan EA adalah garis singgung lingkaran

Click to comment