Type something and hit enter

author photo
By On
Saat melakukan blogwalking, saya menemukan soal matematika dari blog seorang profesor matematika. Saya mencoba menjawab soal itu, dan ternyata jawaban saya benar. Kemudian sang profesor balik bertanya bagaimana membuktikannya ?. Akhirnya saya putuskan untuk menuliskan jawabannya di blog ini walaupun sudah saya berikan pembuktiannya di kotak komentar blog profesor.

Tentukan segitiga dengan luas terkecil yang memuat lingkaran berjari-jari R. Berapakah luas segitiga tersebut?
Segitiga Terkecil yang Memuat Lingkaran
Jawaban saya adalah segitiga sama sisi yang panjang rusuknya \(2 R \sqrt{3}\). Bagaimana membuktikan jawaban ini ?

Pertama-tama kita buktikan jika segitiga yang memuat lingkaran tersebut harus segitiga sama sisi.

Misalkan segitiga yang di luar lingkaran memiliki sisi dengan panjang $a$, $b$ dan $c$.

Mnggunakan rumus panjang jari-jari untuk lingkaran dalam segitiga \[r=\frac{L}{s} \Rightarrow L=rs\] dengan $s$ adalah 1/2 keliling segitiga. Di lain pihak kita juga bisa menghitung luas segitiga menggunakan rumus heron \[L=\sqrt{sxyz}\] dengan $x=s-a$, $y=s-b$, $z=s-c$. Kemudian subsitusikan kedua rumus luas segitiga tadi sehingga \begin{split} & rs=\sqrt{sxyz} \\ \Rightarrow & r^2 s^2=sxyz\\ \Rightarrow & r^2 s = xyz\\ \Rightarrow & s=\frac{xyz}{r^2} \end{split}
\begin{split} & \frac{1}{xy}\frac{1}{xz}\frac{1}{yz}\\ = & \frac{1}{r^4 s^2}\\ = & \frac{1}{L^2 r^2} \end{split} Agar \(L\) minimum haruslah \(\frac{1}{xy}\frac{1}{xz}\frac{1}{yz}\) maksimum, tapi \begin{split} & \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\\ = & \frac{x+y+z}{xyz}\\ = & \frac{s-a+s-b+s-c}{xyz}\\ = & \frac{s}{xyz}\\ = & \frac{1}{r^2} \end{split} Agar hasil perkalian tiga bilangan maksimum dengan penjumlahan konstan haruslah ketiga bilangan itu sama yaitu $xy=yz=xz$ akibatnya $x=y=z$ atau $a=b=c$. Jadi segitiga yang diminta adalah segitiga sama sisi.

Saatnya menghitung panjang sisi segitiga sama sisi
Segitiga Terkecil yang Memuat Lingkaran
Segitiga ABO merupakan segitiga siku-siku di A. Karena segitiga yang berwarna biru pada gambar di atas ini sama sisi, maka haruslah besar sudut ABO adalah 30°. \begin{split} & \tan ABO = \frac{1}{3}\sqrt{3}\\ \Rightarrow & \frac{R}{AB}= \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \Rightarrow & AB= \frac{3R}{\sqrt{3}}=R\sqrt{3} \end{split} Jadi panjang sisi segitiga sama sisi yang dimaksud adalah 2AB atau \[2R\sqrt{3}\]

Click to comment