Type something and hit enter

author photo
By On
Sebelumnya saya pernah menuliskan tentang garis bagi segitiga. Kali ini saya akan menuliskan tentang garis berat segitiga. Garis berat sebuah segitiga merupakan garis yang ditarik dari salah satu sudut segitiga menuju titik tengah sisi di depannya. Garis berat ini membagi segitiga menjadi dua segitiga yang sama luasnya.
Pada gambar di atas garis berwarna hitam yang ditarik dari titik $c$ menuju tengah-tengah $AB$ merupakan garis berat. Berapa panjangnya ? akan saya coba uraikan berikut ini.

Titik $D$ merupakan titik tengah sisi $AB$ dengan panjang sisi $c$ sehingga \(BD = DA = \frac{c}{2}\). Garis $CE$ merupakan garis tinggi yang ditarik dari sudut $C$ dengan panjang $t$. $x$ merupakan jarak antara titik $D$ dan $E$.

Segitiga $BCE$ dan $ACE$ merupakan segitiga siku-siku di $E$, sehingga berlaku rumus pythagoras \[t^2=a^2-\left(\frac{c}{2}+x\right)^2\] dan \[t^2=b^2-\left(\frac{c}{2}-x\right)^2\] Dari kedua persamaan di atas \begin{split} & a^2-\left(\frac{c}{2}+x\right)^2 = b^2-\left(\frac{c}{2}-x\right)^2\\ \Rightarrow & a^2-\frac{c^2}{4}-cx-x^2=b^2-\frac{c^2}{4}+cx-x^2\\ \Rightarrow & a^2-cx=b^2+cx\\ \Rightarrow & a^2-b^2=2cx\\ \Rightarrow & x=\frac{a^2-b^2}{2c} \end{split} Segitiga $CDE$ juga siku-siku di $E$, oleh karenanya berlaku \begin{split} m^2 & = x^2+t^2\\ & = x^2+a^2-\frac{c^2}{4}-cx-x^2\\ & = a^2-\frac{c^2}{4}-cx\\ & = a^2-\frac{c^2}{4}-c\left( \frac{a^2-b^2}{2c} \right)\\ & = \frac{4a^2}{4}-\frac{c^2}{4}-\left( \frac{2a^2-2b^2}{4} \right)\\ & = \frac{4a^2-c^2-2a^2+2b^2}{4}\\ & = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \end{split} Jadi \[m=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\] Dan panjang garis berat yang ditarik dari masing-masing sudut menjadi \[m_A=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\] \[m_B=\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\] \[m_C=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\]

Click to comment