Type something and hit enter

author photo
By On
Salah satu materi matematika yang sangat dasar yang harus dikuasai siswa SMA dan SMK adalah Eksponen atau biasa juga disebut dengan bilangan berpangkat. Eksponen biasanya diajarkan di awal kelas 10 tingkat SMA maupun SMK dan akan kembali diajarkan di kelas 12 menjelang ujian Nasional, pada tingkat SMP juga sudah diajarkan materi tentang Eksponen. Pada postingan pertama ini dijelaskan tentang materi eksponen yang siswa SMP, SMA maupun SMK harus kuasai yakni tentang definisi eksponen, aturan atau sifat-sifat eksponen, pangkat 0 dan pangkat bulat negatif beserta contoh-contohnya.

Definisi

$$a^n=\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_\text{$n$ faktor}$$ $a$ dikalikan sebanyak $n$ kali. Eksponen digunakan untuk menuliskan perkalian dari faktor-faktor yang sama. Pada bentuk eksponen $a^n$, $a$ disebut dengan bilangan pokok atau basis dan $n$ disebut dengan pangkat sedangkan $a^n$ dibaca $a$ pangkat $n$.

Contohnya:
  • $2^3=2 \times 2 \times 2$
  • $(-2)^3=(-2) \times (-2)\times (-2)$
  • $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\left(\dfrac{3}{4}\right) \times \left(\dfrac{3}{4}\right)$

Aturan-aturan eksponen

#1. Aturan Perkalian

Untuk setiap $m$ dan $n$ bilangan asli dan $a$ bilangan real berlaku $$a^m \times a^n=a^{m+n}$$ Bukti
\begin{split} a^m \times a^n & = \underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$m$ faktor} \times \underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$n$ faktor}\\ & = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_\text{$m+n$ faktor}\\ & = a^{m+n} \end{split}
Contoh: $2^4 \times 2^3 = 2^{4+3}=2^7$

Bahasa sederhananya: Jika dua bentuk eksponen yang bilangan pokoknya sama dikalikan, tinggal menjumlahkan pangkatnya saja.

#2. Aturan Pembagian

Untuk setiap $m$ dan $n$ bilangan asli, $m > n$ dan $a$ bilangan real bukan $0$ berlaku $$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ Bukti $$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$m$ faktor}}{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$n$ faktor}}$$ Karena $m > n$ maka $m$ dapat ditulis sebagai $m=m-n+n$ Akibatnya
\begin{split} \dfrac{a^m}{a^n} & = \dfrac{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$m-n+n$ faktor}}{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$n$ faktor}}\\ & = \dfrac{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$m-n$ faktor} \times \color{Blue}{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$n$ faktor}}}{\color{Blue}{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$n$ faktor}}}\\ & = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_\text{$m-n$ faktor}\\ & = a^{m-n} \end{split}
Contoh: $\dfrac{2^5}{2^3} = 2^{5-3}=2^2$

Bahasa sederhananya: Jika dua bentuk eksponen yang bilangan pokoknya sama dibagi, tinggal mengurangkan pangkat pembilang dengan pangkat penyebut.

#3. Aturan Perkalian tipe 2

Untuk setiap $a$, $b$ bilangan real dan $n$ bilangan asli berlaku $$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$ Bukti
\begin{split} (a \times b)^n & = \underbrace{(a \times b) \times (a \times b) \times \cdots \times (a \times b)}_\text{$n$ faktor}\\ & =\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$n$ faktor} \times \underbrace{(b \times b \times \cdots \times b)}_\text{$n$ faktor}\\ & =a^n \times b^n \end{split}
Contoh: $(2 \times 3)^4=2^4 \times 3^4$

Bahasa sederhananya: Eksponen dari Perkalian sama dengan Perkalian dari Eksponen.

#4. Aturan Pembagian tipe 2

Untuk setiap $a$, $b$ bilangan real dengan $b \neq 0$ dan $n$ bilangan asli berlaku $$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$ Bukti
\begin{split} \left( \dfrac{a}{b} \right)^n & = \underbrace{\left( \dfrac{a}{b} \right) \times \left( \dfrac{a}{b} \right) \times \cdots \times \left( \dfrac{a}{b} \right)}_\text{$n$ faktor}\\ & =\dfrac{\underbrace{(a \times a \times \cdots \times a)}_\text{$n$ faktor}}{\underbrace{(b \times b \times \cdots \times b)}_\text{$n$ faktor}}\\ & =\dfrac{a^n}{b^n} \end{split}
Contoh: $\left( \dfrac{2}{3} \right)^4=\dfrac{2^4}{3^4}$

Bahasa sederhananya: Eksponen Pembagian sama dengan Pembagian Eksponen.

#5. Eksponen dari Eksponen

Untuk setiap $a$ bilangan real, serta $m$ dan $n$ bilangan asli berlaku $$(a^m)^n=a^{m \times n}$$ Bukti
\begin{split}
(a^m)^n & = \underbrace{a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}_\text{$n$ faktor}\\ & = a^{\underbrace{m + m + \cdots + m}_\text{$m$ sebanyak $n$}}\\ & = a^{m \times n} \end{split}
Contoh: $(2^3)^4=2^{3 \times 4}=2^{12}$

Bahasa sederhananya: Eksponen yang dipangkatkan cukup dengan mengalikan kedua pangkatnya

#6. Pangkat 0

Misalkan $a$ bilangan real yang bukan $0$ maka $$a^0=1$$ Bukti
\begin{split} & a^m \times a^0 = a^{m+0} \text{ ...aturan perkalian}\\ \Rightarrow & a^m \times a^0 = a^m\\ \Rightarrow & \dfrac{\color{blue}{a^m} \times a^0}{\color{blue}{a^m}} = \dfrac{a^m}{a^m} \text{ ...bagi kedua ruas dengan $a^m$}\\ \Rightarrow & a^0 = 1 \end{split}
Pada langkah ketiga dilakukan pembagian dengan $a^m$, pembagian ini sah karena $a \neq 0$

Contoh:
  • $2^0=1$
  • $\left( \dfrac{2}{3}\right) ^0=1$
  • $-3^0=-1$
  • $(-3)^0=1$
  • $-(-3)^0=-1$
Bahasa sederhananya: Bilangan berapapun kecuali $0$ yang kemudian dipangkatkan $0$ hasilnya pasti sama dengan $1$

#7. Pangkat Negatif

Misalkan $a$ bilangan real yang bukan $0$ maka $$a^{-1}=\dfrac{1}{a}$$ Bukti \begin{split} a^{-1} & = a^{0-1}\\ & = \dfrac{a^0}{a^1} \text{ ...aturan pembagian}\\ & = \dfrac{1}{a} \end{split} Jika dibuat pangkat negatif secara umum akan menjadi $$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$ Bukti \begin{split} a^{-n} & = (a^n)^{-1}\\ & =\dfrac{1}{(a^n)^1}\\ & =\dfrac{1}{a^n} \end{split} Contoh:
  • $2^{-1}=\dfrac{1}{2^1}=\dfrac{1}{2}$
  • $3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$
  • $-4^{-3}=-\dfrac{1}{4^3}=-\dfrac{1}{64}$
  • $(-2)^{-4}=\dfrac{1}{(-2)^4}=\dfrac{1}{16}$
  • $(-2)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{-8}$
  • $-(-3)^{-2}=-\dfrac{1}{(-3)^2}=-\dfrac{1}{9}$

Materi Eksponen:
  1. Eksponen 1: Definisi dan Aturannya
  2. Eksponen 2: Pangkat Rasional
  3. Eksponen 3: Bentuk Akar
  4. Eksponen 4: Bentuk Akar dan Operasinya
  5. Eksponen 5: Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Click to comment