Type something and hit enter

author photo
By On
Ada keistimewaan tersendiri yang dimiliki oleh pangkat $\frac{1}{2}$. Setiap bilangan yang dipangkatkan $\frac{1}{2}$ dapat dituliskan dalam akar pangkat tanpa harus menuliskan index $2$ di akar pangkatnya. Contohnya $x^{\frac{1}{2}}$ cukup ditulis $\sqrt{x}$ tanpa harus menuliskan $\sqrt[2]{x}$. Karena keistimewaan tersendiri itu, bentuk akar pangkat dua bahasan tersendiri pada tingkat SMP, SMA, maupun SMK.

Aturan-aturan pada bentuk akar

1. Aturan Perkalian

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$ Bukti \begin{split} \sqrt{a} \times \sqrt{b} = & a^{\frac{1}{2}} \times b^{\frac{1}{2}}\\ = & (a \times b)^{\frac{1}{2}}\\ = & \sqrt{a \times b} \end{split} Contoh: \begin{split} 2\sqrt{3} \times 4 \sqrt{5} & = 2 \times 4 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}\\ & = 8 \sqrt{3 \times 5}\\ & = 8 \sqrt{15} \end{split}

2. Aturan Pembagian

$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$$ Bukti \begin{split} \dfrac{\sqrt{a} }{ \sqrt{b}} = & \dfrac{a^{\frac{1}{2}} }{ b^{\frac{1}{2}}}\\ = & (\dfrac{a}{b})^{\frac{1}{2}}\\ = & \sqrt{\dfrac{a}{b}} \end{split} Contoh: \begin{split} \dfrac{6\sqrt{8}}{3\sqrt{2}} & =\dfrac{6}{3}\sqrt{\dfrac{8}{2}}\\ & =2\sqrt{4}\\ & =2\cdot 2\\ & =4 \end{split}

3. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

$$a\sqrt{b} \pm c\sqrt{b} = (a \pm c)\sqrt{b}$$ Contoh:
$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(2+5)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$ \begin{split} 2\sqrt{8}-5\sqrt{2} & =2\sqrt{4 \cdot 2}-5\sqrt{2}\\ & = 2 \sqrt{4}\sqrt{2} - 5\sqrt{2}\\ & = 2\cdot 2 \sqrt{2} - 5\sqrt{2}\\ & = 4 \sqrt{2} - 5\sqrt{2}\\ & = (4-5)\sqrt{2}\\ & = -1\sqrt{2}\\ & = -\sqrt{2} \end{split}

4. $\sqrt{a} \times \sqrt{a}$

$$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$$ Bukti \begin{split} \sqrt{a} \times \sqrt{a} = & a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{2}}\\ = & a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\\ = & a^1\\ = & a \end{split} Contoh: $2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3}=2 \times 10 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$

Merasionalkan penyebut bentuk akar $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$

Merasionalkan penyebut bentuk akar berarti menghilangkan notasi akar pangkat sebagai penyebut suatu pecahan tanpa mengubah nilainya, Apa sih manfaatnya ? Baca di sini. Untuk menghilangkan notasi akar pangkat sebagai penyebut suatu pecahan tentu tidak cuma sekedar dengan mencoret akarnya kemudian hilang, tetapi dengan cara mengalikannya dengan suatu bilangan tertentu. \begin{split} \frac{1}{\sqrt{a}} &=\frac{1}{\sqrt{a}} \times 1 \\ & = \frac{1}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \\ & =\frac{\sqrt{a}}{a} \end{split} Contoh: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Secara umum untuk merasionalkan penyebut pecahan yang penyebutnya \(\sqrt[n]{a^m}\) dengan $m < n$, caranya dengan mengalikannya dengan \(\sqrt[n]{a^{n-m}}\) karena \begin{split} & \sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[n]{a^{n-m}}\\ = & a^{\frac{m}{n}} \times a^{\frac{n-m}{n}}\\ = & a^{\frac{m+n-m}{n}} \\ = & a^{\frac{n}{n}}\\ = & a \end{split} Contoh: \begin{split} \dfrac{3}{\sqrt[5]{2^3}} = & \dfrac{3}{2^{\frac{3}{5}}} \times \dfrac{2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} \\ = & \dfrac{3\cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2}\\ = & \dfrac{3\sqrt[5]{2^2}}{2} \end{split}

Merasionalkan penyebut bentuk akar $\dfrac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$

Khusus untuk bentuk-bentuk yang penyebutnya $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$, $a \pm \sqrt{b}$ atau $\sqrt{a} \pm b$, untuk merasionalkan penyebutnya dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat atau sekawan dari penyebut. \begin{split} & \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \\ = & \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab} -b} \\ = & \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a-b} \end{split} Contohnya: \begin{split} & \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \\ = & \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\ = & \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} \\ = & \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} \\ = & \sqrt{5}-\sqrt{3} \end{split}

Materi Eksponen:
  1. Eksponen 1: Definisi dan Aturannya
  2. Eksponen 2: Pangkat Rasional
  3. Eksponen 3: Bentuk Akar
  4. Eksponen 4: Bentuk Akar dan Operasinya
  5. Eksponen 5: Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Click to comment