Eksponen 2: Pangkat Rasional

Pada postingan sebelumnya telah dibahas tentang eksponen tetapi hanya dibahas tentang bilangan yang dipangkatkan bilangan bulat. Sekarang bagaimana jika sebuah bilangan dipangkatkan bilangan rasional a.k.a bilangan pecahan ? Berikut ini pembahasannya

Misalkan $x=7^{\frac{1}{3}}$, pangkatkan kedua ruas dengan $3$ diperoleh $$x^3=\left( 7^{\frac{1}{3}} \right)^3$$ Kemudian dengan aturan perkalian eksponen diperoleh $$x^3=7^{\frac{1}{3} \times 3}=7^1=7$$ Dengan menggunakan definisi akar pangkat diperoleh nilai $$x=\sqrt[3]{7}$$ Karena $x=7^{\frac{1}{3}}$, ini berarti $$7^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{7}$$ Contoh di atas dapat diperumum menjadi $a^{\frac{1}{n}}$

Definisi $a^{\frac{1}{n}}$

Jika $\sqrt[n]{a}$ merupakan bilangan real dan $n$ bilangan asli yang lebih dari $2$ maka $$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$ Contoh
  • $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt{64}=8$
  • $(-125)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-125}=-5$


Definisi $a^{\frac{m}{n}}$

Dengan menggunakan aturan perkalian, bentuk $a^{\frac{m}{n}}$ dapat ditulis sebagai $\left( a^{\frac{1}{n}} \right)^m$ atau $\left( a^m \right)^{\frac{1}{n}}$. Oleh karena itu $$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$$ atau $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$ Contohnya: $64^{\frac{2}{3}}=\ldots$

Untuk menghitungnya bisa dengan dua cara
Cara pertama $(\sqrt[3]{64^2})=\sqrt[3]{4096}=16$
Cara kedua $(\sqrt[3]{64})^2=4^2=16$

Dari kedua cara tersebut, dapat diketahui cara mana yang lebih mudah

Cara alternatif untuk menghitung $a^{\frac{m}{n}}$

Untuk menghitung $a^{\frac{m}{n}}$ dapat dilakukan dengan cara menuliskan $a$ menjadi bentuk eksponen, kemudian dengan aturan eksponen dari eksponen sederhanakan pangkatnya. Contoh

$64^{\frac{2}{3}}=\left( 2^6 \right)^{\frac{2}{3}}=2^{6 \times \frac{2}{3}}=2^4=16$

Materi Eksponen:
  1. Eksponen 1: Definisi dan Aturannya
  2. Eksponen 2: Pangkat Rasional
  3. Eksponen 3: Bentuk Akar
  4. Eksponen 4: Bentuk Akar dan Operasinya
  5. Eksponen 5: Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Comments