Type something and hit enter

author photo
By On
Telah diketahui bahwa rumus untuk luas lingkaran adalah \(\pi r^2\) dan rumus untuk kelilingnya adalah \(2 \pi r\). Jika dimisalkan rumus keliling dan luas ini adalah fungsi terhadap \(r\) yakni \[L(r)=\pi r^2 \text{ dan } K(r)=2 \pi r \] maka akan terdapat kaitan yang sangat erat antara kedua rumus ini.

Perhatikan kedua gambar berikut ini
Turunan dan Integral dari Luas dan Keliling Lingkaran
Gambar di atas merupakan dua lingkaran yang sepusat, dan jika dimisalkan lingkaran yang lebih kecil memiliki panjang jari-jari \(r\) maka panjang jari-jari untuk lingkaran yang lebih besar adalah \(r+\Delta r\).

Luas daerah yang tidak terarsir diatas merupakan selisih antara luas daerah lingkaran yang besar dengan yang lebih kecil yakni \(\Delta L\). \[\Delta L = \pi (r + \Delta r)^2 - \pi r^2\] Sekarang untuk rumus di atas kita bagi kedua ruasnya dengan \(\Delta r\) sehingga terdapat perbandingan antara selisih luas dengan selisih jari-jari \[\frac{\Delta L}{\Delta r}=\frac{\pi (r + \Delta r)^2 - \pi r^2}{\Delta r}\] Jika selisih jari-jari menuju 0 (\(\Delta r \to 0\)) maka persamaan diatas menjadi \begin{split}
\Rightarrow & \lim_{\Delta r \to 0} \frac{\Delta L}{\Delta r}=\lim_{\Delta r \to 0} \frac{\pi (r + \Delta r)^2 - \pi r^2}{\Delta r}\\
\Rightarrow & \frac{dL}{dr}=\lim_{\Delta r \to 0} \frac{\pi (r^2 + 2r \Delta r +(\Delta r)^2) - \pi r^2}{\Delta r}\\
\Rightarrow & \frac{dL}{dr}=\lim_{\Delta r \to 0} \frac{\pi r^2 + 2\pi r \Delta r +\pi (\Delta r)^2 - \pi r^2}{\Delta r}\\
\Rightarrow & \frac{dL}{dr}=\lim_{\Delta r \to 0} \frac{2\pi r \Delta r +\pi (\Delta r)^2}{\Delta r}\\
\Rightarrow & \frac{dL}{dr}=\lim_{\Delta r \to 0} \frac{\Delta r (2\pi r  +\pi \Delta r)}{\Delta r}\\
\Rightarrow & \frac{dL}{dr}=\lim_{\Delta r \to 0} 2\pi r  +\pi \Delta r\\
\Rightarrow & \frac{dL}{dr}=2\pi r \\
\Rightarrow & \frac{dL}{dr}=K(r)
\end{split}Persamaan terakhir di atas menyatakan bahwa turunan luas lingkaran terhadap jari-jarinya merupakan kelilingnya.

Dari ilustrasi di atas kita dapat menyimpulkan  bahwa keliling sebuah lingkaran awalnya adalah sebuah luas, tapi dengan ketebalan yang sangat tipis lebih tipis dari apapun. Saking tipis ketebalannya membuat luas yang berada di dimensi dua harus "turun" ke dimensi satu yang hanya memiliki panjang yaitu keliling. Mungkinkah ini asal-usul nama turunan ? :D

2 komentar

avatar

SAYA SEKELUARGA INGIN MENGUCAPKAN BANYAK TERIMAH KASIH KEPADA AKI NAWE BERKAT BANTUANNNYA SEMUA HUTANG HUTANG SAYA SUDAH PADA LUNAS SEMUA BAHKAN SEKARAN SAYA SUDAH BISA BUKA TOKO SENDIRI,ITU SEMUA ATAS BANTUAN AKI YG TELAH MEMBERIKAN ANKA JITUNYA KEPADA SAYA DAN ALHAMDULILLAH ITU BENER2 TERBUKTI TEMBUS..BAGI ANDA YG INGIN SEPERTI SAYA DAN YANG SANGAT MEMERLUKAN ANGKA RITUAL 2D 3D 4D YANG DIJAMIN 100% TEMBUS SILAHKAN HUBUNGI AKI NAWE DI 085-218-379-259

avatar

Terima kasih atas tulisannya .... saya sangat kagum atas tulisan tentang matemarika ini ... sangat membantu para murid .....

salam
Tangki Fiberglass
Jual Septic Tank
Jual Tangki Kimia
Jual Talang Fiber
Jual Rotameter
Tangki Panel
jual mesin ro

Click to comment