Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan x2bx − 32 = 0, maka nilai b agar m + n minimum adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan rumus vieta m + n = b dan mn = −32
Semua bilangan bulat (m,n) yang memenuhi mn = −32 adalah

(1,−32), (2,−16), (4,−8), (8,−4),
(16,−2), (32,−1), (−1,32), (−2,16),
(−4,8), (−8,4), (−16,2),(−32,1)

Jadi nilai m + n minimum ketika b = −32 + 1 = −31

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 338: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{2x}{x-3}-\dfrac{3}{x} \leq 2$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{2x}{x-3}-\frac{3}{x} \leq 2 \\ \Rightarrow & \frac{2x}{x-3}-\frac{3}{x}-2 \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2}{x(x-3)}-\frac{3(x-3)}{x(x-3)}-\frac{2x(x-3)}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2-3x+9-2x^2+6x}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{3x+9}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x+3}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & x \leq -3 \text{ atau } 0 < x < 3 \end{split} Referensi: Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika f(x) = x + 2ab dan g(x) = 2bx + 2, serta 4f(0) = 3g(1), maka 4a − 5b = ...

Pembahasan
\begin{split} & 4f(0)=3g(1) \\ \Rightarrow & 4(2a-b)=3(2b+2)\\ \Rightarrow & 8a-4b=6b+6\\ \Rightarrow & 8a-10b=6 \text{ ...(kedua ruas dibagi 2)}\\ \Rightarrow & 4a-5b=3 \end{split}

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memnuhi g(x−1) = f(x+1), maka g−1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan g(x−1) = f(x+1) = y maka g−1(y) = x − 1 dan \begin{split} & x+1=f^{−1}(y) \\ \Rightarrow & x=f^{−1}(y)-1 \end{split} akibatnya \begin{split} g^{−1}(y) & =(f^{−1}(y)-1)-1\\ & =f^{−1}(y)-2 \end{split} Jadi g−1(x) = f−1(x) − 2

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 2c & 2d\\a+c & b+d\end{pmatrix}\), dan det(A) = 5 maka det(B) = ...

Pembahasan
det(A) = 5 maka adbc = 5 \begin{split} & \det(B)\\ = & 2c(b+d)-2d(a+c)\\ = & 2bc+2cd-2ad-2cd\\ = & 2bc-2ad\\ = & -2(ad-bc)\\ = & -2 \cdot 5 = -10 \end{split}

Soal #55
Diketahui x, y, z adalah barisan aritmatika dengan beda b dan x + y + z = 12. Jika xyz = 28, maka nilai b terkecil adalah...

Pembahasan
x, y, z adalah barisan aritmatika dengan beda b maka x = yb dan z = y + b. \begin{split} & x+y+z=12\\ \Rightarrow & (y-b)+y+(y+b)=12\\ \Rightarrow & y=4 \end{split}
\begin{split} & xyz=28\\ \Rightarrow & (4-b)4(4+b)=28\\ \Rightarrow & (4-b)(4+b)=7\\ \Rightarrow & 16-b^2=7\\ \Rightarrow & 1b^2=9\\ \Rightarrow & b=3 \text{ atau } b=-3 \end{split} Jadi nilai b terkecil adalah −3

Soal #56
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 338: Matematika Dasar
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, lengkungan BD dan BE berturut-turut adalah busur lingkaran yang berpusat di C dan A seperti pada gambar. Jika AB = BC = 2 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm2

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 338: Matematika Dasar
Jadi luas daerah pada soal sama dengan luas daerah pada gambar di atas ini 2⋅2 − $\frac{1}{4}$π⋅22 = 4 − π cm2

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 30 siswa. Rata-rata nilai mata pelajaran statistika mereka adalah 8. Rata-rata nilai tersebut tetap sama meskipun satu nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dari 10 dan tidak semua siswa memperoleh nilai yang sama, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Total nilai 30 siswa adalah 30 × 8 = 240

Misalkan nilai yang terkecil adalah a dan yang terbesar adalah b maka \begin{split} & \frac{240-a-b}{28}=8\\ \Rightarrow & 240-a-b=224\\ \Rightarrow & a+b=16 \end{split} Sehingga pasangan bilangan (a,b) yang memenuhi hanyalah (7,9) atau (6,10). Jadi nilai terendah yang mungkin adalah 6 atau 7; yang sebanyak 2

Soal #58
Diketahui f(x) = ax2 + b. Jika f(2b) − f(b) = 3, dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(bx)}{x-1}=2$, maka a + b = ...

Pembahasan
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(bx)}{x-1}=1$ maka $\lim_{x \to 1}\limits f(bx)=0$ \begin{split} & f(b)=0\\ \Rightarrow & ab^2+b=0\\ \Rightarrow & b(1+b) =0\\ \Rightarrow & b=0\text{ atau }b=-1 \end{split} Tetapi b = 0 tidak mungkin karena f(2b) − f(b) = f(0) − f(0) ≠ 3 akibatnya b = −1

Dengan aturan L'Hospital \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{f(bx)}{x-1}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{f(-x)}{x-1}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{-f'(-x)}{1}=2\\ \Rightarrow & -f'(-1)=2\\ \Rightarrow & 2a =2\\ \Rightarrow & a=1 \end{split} Jadi a + b = 1 + (−1) = 0

Soal #59
Jika 2x + 3y = 13, 3x + 2y = 12, ax + by = 13, dan −ax + by = 5, maka 2ab = ...

Pembahasan
Dengan menyelesaikan SPLDV

2x + 3y = 13
3x + 2y = 12

diperoleh nilai x = 2 dan y = 3. Substitusikan nilai x dan y ke dua persamaan berikutnya

2a + 3b = 13
−2a + 3b = 5

Kemudian selesaikan sehingga diperoleh a = 2 dan b = 3.

Jadi 2ab = 4 − 3 = 1

Soal #60
Semua bilangan real yang x yang memenuhi \(\dfrac{1}{|x-2|} < \dfrac{1}{1-x}\) adalah ...

Pembahasan
Jika x > 2
\begin{split}
& \frac{1}{x-2} < \frac{1}{1-x}\\
\Rightarrow & \frac{1}{x-2} - \frac{1}{1-x} < 0\\
\Rightarrow & \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} < 0\\
\Rightarrow & \frac{2x-3}{(x-2)(x-1)} < 0\\
\Rightarrow & x < 1 \text{ atau } \frac{3}{2} < x < 2\\
\end{split} tetapi tidak ada nilai x > 2 yang memenuhi

Jika x < 2
\begin{split}
& \frac{1}{2-x} < \frac{1}{1-x}\\
\Rightarrow & \frac{1}{2-x} - \frac{1}{1-x} < 0\\
\Rightarrow & -\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} < 0\\
\Rightarrow & \frac{-1}{(x-2)(x-1)} < 0\\
\Rightarrow & \frac{1}{(x-2)(x-1)} > 0\\
\Rightarrow & x < 1 \text{ atau }x > 2\\
\end{split} Jika x < 2 maka semua nilai x yang memenuhi adalah x < 1

Referensi: Pertidaksamaan

2 komentar

avatar

keren gan. makasih banyakkkkk

avatar

Terima kasih kunjungannya gan :)

Click to comment