Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Misalkan titik A dan B pada lingkaran \(x^2+y^2-6x-2y+k=0\) sehingga lingkaran di titik A dan B berpotongan di \(C(8,1)\). Jika luas segi empat yang melalui A, B, C dan pusat lingkaran adalah 12, maka \(k=\) ...

Pembahasan
Dari persamaan lingkaran yang telah diketahui didapatkan panjang jari-jarinya \(r=AP=\sqrt{10-k}\) dengan pusat \(P(3,1)\) sehingga \(PC=5\)
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 534
Karena \(\Delta PAC\) adalah segitiga siku-siku di A maka \[AC=\sqrt{5^2-{\sqrt{10-k}}^2}=\sqrt{15+k}\] Karena AP merupakan garis singgung maka AP tegak lurus AC sehingga luas daerah APC=6 bisa dihitung menggunakan rumus luas segitiga \[\frac{AP \times AC}{2}=6\] \[\frac{\sqrt{10-k} \sqrt{15+k}}{2}=6\] Dengan menyelesaikan persamaan di atas didapat \(k=1\)

Soal #2
Jika \(\sin \left ( 2x+30^{\circ} \right )=a\) dan \(\sin \left ( x+45^{\circ} \right )=b\), maka nilai \(\sin \left(3x+75^{\circ}\right) \sin \left(x-15^{\circ}\right)=\cdots\)

Pembahasan
\begin{split}
& \sin \left ( 2x+30^{\circ} \right )=a\\
\Rightarrow & \cos \left ( 2x+30^{\circ} \right )= \sqrt{1-a^2}
\end{split} \begin{split}
& \sin \left ( x+45^{\circ} \right )=b\\
\Rightarrow & \cos \left ( x+45^{\circ} \right )= \sqrt{1-b^2}
\end{split}
Misal \(\alpha = 2x+30^{\circ}\) dan \(\beta = x+45^{\circ}\). Jadi
\begin{split}
& \sin \left(3x+75^{\circ}\right) \sin \left(x-15^{\circ}\right)\\
= & \sin(\alpha+\beta) \sin(\alpha-\beta)\\
= & (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)\\
= & (\sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta)\\
= & a^2 (1-b^2) - b^2 (1-a^2)\\
= & a^2 - a^2 b^2 - b^2 + a^2 b^2\\
= & a^2-b^2
\end{split}
Soal #3
Misalkan \(A(t^2+1,t)\) dan \(B(1,1)\), sehingga panjang proyeksi \( \overrightarrow{OA}\) terhadap \(\overrightarrow{OB}\) lebih dari \(\frac{3}{\sqrt{2}}\), maka nilai t yang mungkin adalah ...

Pembahasan
\begin{split}
& \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{\left | \overrightarrow{OB} \right |} < \frac{3}{\sqrt{2}} \\
\Rightarrow & \frac{\begin{pmatrix} t^2+1\\t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+1^2}} < \frac{3}{\sqrt{2}} \\
\Rightarrow & t^2+1+t < 3 \\
\Rightarrow & t^2+t-2 < 0 \\
\Rightarrow & \left ( t+2 \right )\left ( t-1 \right ) < 0 \\
\Rightarrow & -2 < t < 1
\end{split}
Soal #4
Pencerminan garis \(y=-x+2\) terhadap \(y=3\) menghasilkan garis ...

Pembahasan
Bayangan titik \( (x,y) \) oleh pencerminan \(y=3\) adalah \[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 6-y \end{pmatrix}\] substitusikan \( x=x' \) dan \( y=6-y' \) ke persamaan garis diperoleh \[6-y'=-x+2\] atau \[y'=x'+4\]
Soal #5
Pada kubus ABCD.EFGH, P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah GH. Perpanjangan BP dan DQ berpotongan di perpanjangan CG dan titik R. Jika panjang rusuk kubus adalah 4, maka volume BCD.PGQ adalah...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 534
Bangun BCD.PGQ adalah limas terpancung, Oleh karena itu untuk menentukan volumenya digunakan rumus volume limas R.BCD dikurangi volume limas R.PGQ

Volume R.BCD $=\frac{1}{3} \times \text{Luas BCD} \times CR$

Volume R.PGQ $=\frac{1}{3} \times \text{Luas PGQ} \times GR$

Berdasarkan gambar diatas \(\frac{FP}{PG}=\frac{FB}{RG}=\frac{1}{1} \Rightarrow GR=4\) sehingga

Volume R.BCD $=\frac{1}{3} \times 8 \times 8 = \frac{32}{3}$ dan

Volume R.PGQ $=\frac{1}{3} \times 2 \times 4 = \frac{8}{3}$

Jadi Volume BCD.PGQ adalah \(\frac{64}{3}-\frac{8}{3}=18 \frac{2}{3}\)

Soal #6
Sisa pembagian \(x^{2014} - Ax^{2015} +Bx^3-1\) oleh \(x^2-1\) adalah \(-x+B\). Nilai \(2A+B\) adalah ...
Pembahasan
\[x^{2014} - Ax^{2015} +Bx^3-1=h(x)(x^2-1)-x+B\]
Substitusikan \(x=-1\) ke persamaan di atas maka
\begin{split}
& (-1)^{2014} - A(-1)^{2015} +B(-1)^3-1 =h(-1)((-1)^2-1)-(-1)+B \\
\Rightarrow & 1+A-B-1 =1+B\\
\Rightarrow & A-2B =1
\end{split}
Substitusikan \(x=1\) disubstitusikan ke persamaan di atas juga akan diperoleh
\begin{split}
& (1)^{2014} - A(1)^{2015} +B(1)^3-1 =h(1)((1)^2-1)-(1)+B \\
\Rightarrow & 1-A+B-1 =-1+B\\
\Rightarrow & A =1
\end{split}
Karena \(A=1\) maka \(1-2B=1 \Rightarrow B=0 \Rightarrow 2A+B=2\)

Soal #7
Nilai c yang memenuhi \((0,25)^{3x^2+6x-c} < (0,0625)^{x^2+2x+15}\) adalah...

Pembahasan
\begin{split}
& (0,25)^{3x^2+6x-c} < (0,0625)^{x^2+2x+15} &\\
\Rightarrow & (0,25)^{3x^2+6x-c} < (0,25)^{2x^2+4x+30}\\
\Rightarrow & 3x^2+6x-c > 2x^2+4x+30\\
\Rightarrow & x^2+2x-c-30 > 0
\end{split}
Karena pertidaksamaan selalu terpenuhi untuk setiap x maka Diskriminan dari pertidaksamaan diatas kurang dari 0 yakni
\begin{split}
& b^2-4ac < 0\\
\Rightarrow & 4-4(1)(-c-30) > 0\\
\Rightarrow & 4+4c+120 < 0\\
\Rightarrow & c < -31
\end{split}

Soal #8
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar \(25^x - 2 \cdot 5^{x+1} - \cdot 5^{x}+a =0\) di mana \(x_1 + x_2 = 2 \cdot {}^5\!\log 2 +1\), maka \(a=\) ...

Pembahasan
\begin{split}
&25^x - 2 \cdot 5^{x+1} - \cdot 5^{x}+a =0\\
\Rightarrow & 5^{x_1} 5^{x_2} =a\\
\Rightarrow & 5^{x_1 + x_2} =a\\
\Rightarrow & x_1 + x_2 ={}^5\!\log a\\
\Rightarrow & 2 \times {}^5\!\log 2 +1 ={}^5\!\log a\\
\Rightarrow & {}^5\!\log a ={}^5\!\log 4 + {}^5\!\log 5\\
\Rightarrow & {}^5\!\log a ={}^5\!\log 20\\
\Rightarrow & a=20
\end{split}
Soal #9
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x}= \cdots$

Pembahasan
\begin{split}
& \lim_{x \to 1} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x} \frac{\left (\sqrt{5-x}+2\right )}{\left (\sqrt{5-x}+2\right )}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left ( 1-x \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{\left (1-x \right )\left ( \sqrt{5-x}+2 \right )}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{\left ( \sqrt{5-x}+2 \right )}\\
= & \frac{\left ( \sqrt{2-1}+1 \right )}{\left ( \sqrt{5-1}+2 \right )}\\
= & \frac{1}{2}
\end{split}
Soal #10
Jika \(u_1 \text{,} u_2 \text{,} u_3 \text{,} \cdots\) adalah barisan geometri yang memenuhi \(u_3 - u_6=x\) dan \(u_2 - u_4=y\), maka \(\frac{x}{y}=\cdots\)

Pembahasan
\begin{split}
\frac{x}{y} = & \frac{u_3 - u_6}{u_2 - u_4}\\
= & \frac{ar^2 - ar^5}{ar - ar^3}\\
= & \frac{r^2 \left (1 - r^3 \right )}{r\left (1 - r^2 \right )}\\
= & \frac{r (1 - r)(1+r+r^2)}{(1 - r)(1+r)}\\
= & \frac{r^3+r^2+r}{r+1}
\end{split}
Soal #11
Fungsi \(f(x)=-\sqrt{\cos^2 x + \frac{x}{2}+\pi }\) , \(-\pi < x < 2 \pi\) turun pada interval ...

Pembahasan
\(f(x)\) turun jika \(f'(x) < 0\).
\begin{split}
& f(x)=-(\cos^2 x + \frac{x}{2}+\pi )^{\frac{1}{2}}
\Rightarrow & f'(x) = -\frac{2 (\cos x)(-\sin x) +\frac{1}{2}}{2 \sqrt{\cos^2 x + \frac{x}{2}+\pi}} < 0\\
\Rightarrow & \frac{2 \sin x \cos x - \frac{1}{2}}{2 \sqrt{\cos^2 x + \frac{x}{2}+\pi }} < 0\\
\Rightarrow & 2 \sin x \cos x - \frac{1}{2} < 0\\
\Rightarrow & \sin 2x < \frac{1}{2} \\
\Rightarrow & -\frac{7 \pi}{12} < x < \frac{\pi}{12}
\end{split}

Soal #12
Pada interval \(-4 \leq x \leq 4 \), luas daerah di atas kurva \(y=16-x^2\) dan di bawah garis \(y=k\) sama dengan luas daerah di bawah \(y=16-x^2\) dan di atas \(y=k\). Nilai \(k=\) ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 534
Misalkan titik potong garis dan kurva pada kuadran I terletak pada $x=c$
\begin{split}
& \int_{0}^{c} 16-x^2-k \ dx =\int_{c}^{4} k-16+x^2 \ dx \\
\Rightarrow & \left [16x -\frac{x^3}{3}-kx \right ]_{0}^{c} = \left [kx-16x+\frac{x^{3}}{3} \right ]_{c}^{4}\\
\Rightarrow & \left [16c -\frac{c^3}{3}-kc \right]= \left [4k-64+\frac{64}{3} \right ] -\left [kc -16c+ \frac{c^3}{3}\right]\\
\Rightarrow & 0=4k-64+\frac{64}{3}\\
\Rightarrow & 4k=64-\frac{64}{3}\\
\Rightarrow & k=16-\frac{16}{3}\\
\Rightarrow & k=10\frac{2}{3}
\end{split}

Soal #13
Banyak garis \(Ax+By=0 \) dengan A dan B dua bilangan berbeda yang dipilih dari {0,1,6,36} adalah ...

Pembahasan
Banyak persamaan berbeda yang mungkin bisa dibuat sebanyak \(4 \times 3 = 12\).

Jika \(A=0\) didapatkan 3 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 12-3+1=10 persamaan berbeda.

Jika \(B=0\) didapatkan 3 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 10-3+1=8 persamaan berbeda.

Jika \(A=1\) dan \(B=6\) menghasilkan persamaan yang setara jika \(A=6\) dan \(B=36\) sehingga tersisa 8-2+1=7 persamaan berbeda.

Jika \(A=6\) dan \(B=1\) menghasilkan persamaan yang setara jika \(A=36\) dan \(B=6\) sehingga tersisa 7-2+1=6 persamaan berbeda.

Soal #14
Tiga kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu kelas masing-masing terdiri atas siswa laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang ketiganya laki-laki adalah adalah 7/36. Peluang terpilih dua perempuan dan satu orang laki-laki adalah ...

Pembahasan
Misalkan
\(n_{LA}=\) banyak laki-laki di kelas A
\(n_{LB}=\) banyak laki-laki di kelas B
\(n_{PA}=\) banyak perempuan di kelas A
\(n_{PB}=\) banyak perempuan di kelas B
dan kelas C yang terdiri atas laki-laki saja

\begin{split}
& \frac{n_{LA}}{30} \frac{n_{LB}}{30} \frac{n_{LC}}{30}= \frac{7}{36}
\Rightarrow & n_{LA} n_{LB} = 7 \times 5 \times 5\\
\Rightarrow & n_{LA}=7 \text{ dan }n_{LB} = 25\\
\Rightarrow & n_{PA}=23 \text{ dan }n_{PB} = 5
\end{split}
Jadi peluang terpilih dua perempuan dan satu orang laki-laki adalah
\begin{split}
& \frac{n_{PA}}{30} \frac{n_{PB}}{30} \frac{n_{LC}}{30}\\
= & \frac{23}{30} \frac{5}{30} \frac{30}{30}\\
= & \frac{23}{180}
\end{split}

Soal #15
Diketahui deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi \(f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x+c\) untuk \(-1 \leq x \leq 2\). Selisih suku kedua dan dan suku pertama deret geometri tersebut adalah \(-2f'(0)\). Jika rasio deret geometri tersebut adalah \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\), maka nilai c adalah ...

Pembahasan
Nilai maksimum dari \(f(x)\) tercapai jika \(f'(x)=0\) \[f'(x)=-x^2+1=0 \Rightarrow x=1 \text{ atau } x=-1\] \[f'(0)=-0^2+1=1\]
Nilai maksimum yang mungkin adalah $f(-1)=c-\frac{2}{3}$, $f(1)=c+\frac{2}{3}$, $f(2)=c-\frac{2}{3}$
sehingga nilai maksimumnya adalah \(c+\frac{2}{3}\).
\begin{split}
& S_{\infty }=c+\frac{2}{3}\\
\Rightarrow & \frac{a}{1-r}=c+\frac{2}{3}\\
\Rightarrow & \frac{a}{1-\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}=c+\frac{2}{3}\\
\Rightarrow & \frac{a}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=c+\frac{2}{3}\\
\Rightarrow & a=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(c+\frac{2}{3}\right) \text{ ...(i)}
\end{split}

\begin{split}
& U_2-U_1=-2 f'(0)\\
\Rightarrow & ar-a =-2\\
\Rightarrow & a\left(r-1\right)=-2\\
\Rightarrow & a\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2\\
\Rightarrow & -\frac{a}{\sqrt{2}}=-2\\
\Rightarrow & a=2\sqrt{2}\text{ ...(ii)}
\end{split}
Dengan mensubstitusikan persamaan (i) dan (ii)
\begin{split}
& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(c+\frac{2}{3}\right) = 2\sqrt{2}\\
\Rightarrow & c+\frac{2}{3} = 4\\
\Rightarrow & c = \frac{10}{3}
\end{split}

Click to comment