Type something and hit enter

author photo
By On
Rata-rata: Harmonik, Geometrik, Aritmatik, Akar Kuadrat
Jika terdapat dua bilangan positif \(a\) dan \(b\), kita dapat menghitung nilai rata-rata kedua bilangan itu dengan cara menjumlahkannya kemudian dibagi dengan dua. Menghitung nilai rata-rata dengan cara seperti itu menghasilkan nilai yang disebut dengan rata-rata aritmatik. Rata-rata dari dua bilangan tidak hanya rata-rata aritmatik yang biasa kita pakai, masih ada rata-rata yang lain. Berikut di antaranya

Misalkan \(a\) dan \(b\) dua bilangan real positif maka

Rata-rata Harmonik dirumuskan dengan \[H(a,b)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\] Rata-rata Geometrik dirumuskan dengan \[G(a,b)=\sqrt{ab}\] Rata-rata Aritmatik dirumuskan dengan \[A(a,b)=\frac{a+b}{2}\] Rata-rata akar kuadrat dirumuskan dengan \[K(a,b)=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\] Keempat rata-rata ini bersifat \[\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\] dan kesamaan akan terpenuhi jika \[a=b\]

Bukti

#1 KM > AM \begin{split} & (a-b)^2 \geq 0 \\ \Rightarrow & a^2-2ab+b^2 \geq 0\\ \Rightarrow & 2a^2+2b^2 \geq a^2+b^2+2ab\\ \Rightarrow & \frac{a^2+b^2}{2} \geq \frac{(a+b)^2}{4}\\ \Rightarrow & \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2} \end{split} #2 AM > GM \begin{split} & (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0 \\ \Rightarrow & a-2\sqrt{ab}+b \geq 0\\ \Rightarrow & a+b \geq 2\sqrt{ab}\\ \Rightarrow & \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \end{split} #3 GM > HM \begin{split} & (a-b)^2 \geq 0 \\ \Rightarrow & a^2-2ab+b^2 \geq 0\\ \Rightarrow & a^2+2ab+b^2 \geq 4ab\\ \Rightarrow & (a+b)^2 \geq 4ab\\ \Rightarrow & 1 \geq \frac{4ab}{(a+b)^2}\\ \Rightarrow & ab \geq \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}\\ \Rightarrow & \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{(a+b)}\\ \Rightarrow & \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{a+b}{ab}}\\ \Rightarrow & \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \end{split}

Click to comment