Type something and hit enter

author photo
By On
Ada benda tiga dimensi yang luas permukaannya sangat-sangat luas, lebih luas dari apapun tetapi benda itu isinya kira-kira hanya sebesar 3,14 satuan volume. Benda ini bentuknya seperti terompet, disebut terompet jibril (Gabriel's Horn) atau kadang-kadang disebut juga terompet torriceli (Torricelli's trumpet).

Misalkan \(y=\frac{1}{x}\) pada interval $x \geq 1$ diputar mengeliligi sumbu $x$ sejauh 360° maka akan terbentuk bangun 3 dimensi yang berbentuk seperti terompet. Berikut ini ilustrasinya
Paradox Terompet Jibril
Sekarang kita akan coba mewarnai seluruh permukaan luarnya dengan cat, tetapi terlebih dahulu kita hitung berapa banyak cat yang kita butuhkan. Seperti menghitung banyak cat yang dibutuhkan untuk mengecat tembok kita tentu harus tahu berapa luas benda yang akan dicat kemudian kita perikirakan seberapa banyak cat yang dibutuhkan. Kita hitung luasnya menggunakan integral luas permukaan benda putar yaitu \[L=2 \pi \int y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \ dx\] diketahui bahwa \(y=\frac{1}{x} \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2} \) sehingga \begin{split} L & = 2 \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1+\left( -\frac{1}{x^2} \right)^2}\ dx\\ & = 2 \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1+ \frac{1}{x^4}}\ dx \end{split} sepertinya agak sulit menghitung integral diatas, tapi kita bisa lihat bahwa \(\frac{1}{x} \sqrt{1+ \frac{1}{x^4}} > \frac{1}{x}\) sehingga \begin{split} L & > 2 \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \ dx\\ & = 2 \pi \lim_{a \to \infty} \int_{1}^{a} \frac{1}{x} \ dx\\ & = 2 \pi \lim_{a \to \infty} \left[\ln x \right]_{1}^{a}\\ & = 2 \pi \lim_{a \to \infty} \left[\ln a - \ln 1 \right] \\ & = 2 \pi \lim_{a \to \infty} \ln a\\ & = \infty \end{split} Jadi luas terompet itu adalah lebih dari takhingga, luas yang tak terbatas.

Sekarang akan kita hitung isi dari terompet tersebut atau volumenya dengan menggunakan integral \[V=\pi \int (f(x))^2 \ dx\] \begin{split} V & = \pi \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x}\right)^2 \ dx\\ & = \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \ dx\\ & = \pi \lim_{a \to \infty} \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} \ dx\\ & = \pi \lim_{a \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a \\ & = \pi \lim_{a \to \infty} \left[ \left( -\frac{1}{a} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) \right] \\ & = \pi \lim_{a \to \infty} \left[ 1-\frac{1}{a}\right] \\ & = \pi \left[ 1-0\right] \\ & = \pi \end{split} Jadi volume dari terompet tersebut adalah \(\pi\) satuan volume.

Apa sebenarnya yang terjadi sehingga ada benda dengan volume hanya sekitar 3,14 satuan volume tetapi memiliki luas yang tak terbatas ? Apakah salah perhitungan ? Ataukah terompet jibril hanya hayalan saja ?

Click to comment