Type something and hit enter

author photo
By On
Pada pelajaran matematika kelas 10 kurikulum dua ribu tida jelas, eh dua ribu tiga belas maksud saya :v, diberikan materi tentang garis-garis yang ada pada segitiga. Salah satunya adalah garis bagi sudut atau bisector. Garis bagi adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga menuju sisi di depannya dengan catatan sudut yang terbentuk pada titik sudut yang dibagi sama besar. Kali ini saya akan menulis tentang panjang garis bagi ini.
Panjang Garis Bagi Segitiga
Pada gambar diatas AD merupakan garis bagi dengan panjang \(d\) karena AD membagi sudut BAD menjadi dua bagian sama besar yaitu \(\theta\)

Luas segitga ADB + luas segitaiga ADC = Luas segitiga ABC, dan dengan bantuan rumus luas segitiga jika dua sisi diketahui panjangnya dan sudut diantaranya diketahui juga kita dapatkan \[\frac{1}{2}dc \sin \theta + \frac{1}{2}db \sin \theta=\frac{1}{2}bc \sin 2\theta\] kedua ruas dikalikan 2 maka \[dc \sin \theta + db \sin \theta=bc \sin 2\theta\] Menurut rumus trigonometri yang belum saya tuliskan pembuktiannya :D bahwa \(\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai \[dc \sin \theta + db \sin \theta=2bc \sin \theta \cos \theta\] Karena ABD merupakan sebuah segitiga maka \(0^{\circ} < 2 \theta < 180^{\circ}\) atau \(0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}\) yang mengakibatkan \(\sin \theta \neq 0\). Jadi kita bisa membagi kedua ruas persamaan diatas dengan \(\sin \theta\) \[dc + db =2bc \cos \theta\] kuadratkan kedua ruasnya \[d^2(c + b)^2 =4b^2c^2 \cos^2 \theta\] Untuk sementara kita tunda dulu langkah pencaraian panjang garis bagi. Kita akan mencari nilai dari \[\cos^2 \theta=\frac{\cos 2 \theta+1}{2}\] dengan menggunakan aturan cosinus yang pernah saya tuliskan alternatif buktinya di sini. \begin{split}
\cos^2 \theta & =\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1}{2}\\
& = \frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{4bc}\\
& = \frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}\\
& = \frac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}\\
& = \frac{(b+c+a)(a+b+c-2a)}{4bc}\\
& = \frac{K(K-2a)}{4bc} \text{ ; } K=a+b+c\\
\end{split} Substitusikan nilai \(\cos^2 \theta\) di atas ke persamaan untuk garis bagi \begin{split}
\Rightarrow & d^2(b + c)^2=4b^2c^2 \left(\frac{K(K-2a)}{4bc}\right)\\
\Rightarrow & d^2(b + c)^2=bcK(K-2a)\\
\Rightarrow & d(b + c)=\sqrt{bcK(K-2a)}\\
\Rightarrow & d=\frac{\sqrt{bcK(K-2a)}}{b+c}
\end{split}
Contoh soal: Tentukan panjang garis bagi yang melalui titik A dengan panjang sisi \(a=5\), \(b=3\), \(c=4\)

Solusi:
\(K=a+b+c=12\) \begin{split}
d & = \frac{\sqrt{3 \cdot 4 \cdot 12 \cdot (12-10)}}{3+4}\\
& = \frac{\sqrt{144 \cdot 2}}{7}\\
& = \frac{12}{7}\sqrt{2}
\end{split}

Click to comment