Type something and hit enter

author photo
By On
Notasi faktorial ! biasanya digunakan sebagai bantuan untuk menghitung peluang sebuah kejadian. Kejadian-kejadian yang dihitung merupakan kejadian diskrit yang menggunakan bilangan asli sebagai domain perhitungannya. Contohnya jika kita menghitung banyak cara menyusun 3 objek berbeda dalam satu baris adalah $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$ Contoh lainnya adalah
  • $1! = 1$
  • $2! = 2 \times 1 = 2$
  • $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
  • $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Kemudian jika kita sketsa grafik fungsi $f(n)=n!$ pada bidang kartesisus dengan $n$ bilangan asli bentuknya akan menjadi seperti berikut
Fungsi Gamma dan Notasi Faktorial
Kita tidak bisa menghubungkan titik-titik A, B, C, D dan E menggunakan kurva karena perhitungan kita di awal menggunakan bilangan asli. Seandainya kita mempunyai nilai untuk $2.5!$, $1.5!$ dan yang lain-lain pasti bisa dibuatkan kurva untuk $y=x!$ dengan $x$ adalah bilangan real. Tapi bagaimana cara menghitungnya ?

Untuk menghitung $n!$ untuk $n$ bukan asli bisa digunakan fungsi Gamma (Γ). Fungsi Gamma didefinisikan sebagai \[\Gamma (n+1) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{n} \ \mathrm{d}t\] Jika dikaitkan dengan notasi faktorial maka \[n!=\Gamma (n+1)\] Pada notasi faktorial berlaku \[n!=n \times (n-1)!\] begitu juga pada fungsi juga berlaku sifat yang sama yaitu \[\Gamma (n+1)=n \times \Gamma (n)\] Bukti

Akan dihitung \(\int_0^{\infty} e^{-t} t^{n} \ \mathrm{d}t\) dengan teknik integral parsial

Misalkan \(u=t^{n}\) dan \(\mathrm{d}v=e^{-t}\) maka \(\mathrm{d}u=nt^{n-1} \ \mathrm{d}t\) dan \(v=-e^{-t}\) sehingga \begin{split} & \Gamma (n+1) \\ = & \int_0^{\infty} e^{-t} t^{n} \ \mathrm{d}t\\ = & uv-\int v \ \mathrm{d}u\\ = & \left[-e^{-t}t^{n}\right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} -e^{-t} nt^{n-1} \ \mathrm{d}t\\ = & \left[-\frac{t^{n}}{e^{t}}\right]_0^{\infty} + n \int_0^{\infty} e^{-t} t^{n-1} \ \mathrm{d}t\\ = & 0+n \Gamma (n)\\ = & n \Gamma (n) \end{split} Tentang \(\left[-\frac{t^{n}}{e^{t}}\right]_0^{\infty} =0\) akan saya tuliskan buktinya lain waktu :D

Muncul masalah baru yakni bagaimana menghitung nilai \(\Gamma (n+1) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{n} \ \mathrm{d}t\), Jika $n$ bilangan asli sangat mudah menghitungnya dengan notasi faktorial tetapi bagaimana jika kita hitung \(\Gamma(2,5) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{1,5} \ \mathrm{d}t\). Nilai dari integral tersebut bisa dihitung secara numerik menggunakan pendekatan luas daerah di bawah kurva \(y(t)=e^{-t} t^{1,5}\) pada interval $(0,\infty)$
Fungsi Gamma dan Notasi Faktorial
Gambar di atas merupakan daerah di bawah kurva \(y(t)=e^{-t} t^{1,5}\), dengan bantuan Geogebra luasnya sekitar 1,33. Jadi 2,5!≈1,33

Jadi sebenarnya kita bisa mensketsa kurva \(f(x)=x!\) dengan $x$ bilangan real menggunakan kurva yang mulus dengan bantuan fungsi Gamma, berikut penampakannya
Fungsi Gamma dan Notasi Faktorial

Click to comment