Type something and hit enter

author photo
By On
Pada pembahasan sebelumnya tentang volume benda putar, jika sebuah kurva \(y=f(x)\) diputar mengelilingi suatu garis akan terbentuk bangun tiga dimensi. Salah satu karakteristik dari bangun tiga dimensi hasil perputaran ini selain volume adalah luas permukaannya. Seperti volume, luas permukaan ini bisa dihitung menggunakan integral. Berikut adalah pembahasan bagaimana menyusun integran untuk menghitung luas permukaan dari benda putar.
Luas Permukaan Benda Putar
Untuk menghitung luas permukaannya terlebih dahulu bangun diatas dipotong menjadi kepingan berbentuk tabung yang tipis kemudian hitung luas selimutnya dan jumlahkan semuanya. Menghitung luas selimut tabung ini tidak gampang karena bentuknya adalah kerucut terpancung seperti diilustrasikan dengan gambar berikut.
Luas Permukaan Benda Putar
Untuk menghitung pendekatan luas selimut kerucut terpancung diatas digunakan rumus luas permukaan tabung \(L= 2 \pi r t\) dengan \[r \approx \frac{f(x_k) + f(x_{k-1})}{2} \text{ dan } t \approx PQ \] Dengan cara yang sama untuk menghitung panjang kurva \[t \approx PQ \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\] Sehingga
\begin{split} L & \approx 2 \pi \frac{f(x_k) + f(x_{k-1})}{2} \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\\ L & \approx \pi (f(x_k) + f(x_{k-1})) \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x \end{split} Jika \(\Delta x \to 0\) maka \(f(x_k) = f(x_{k-1})=f(x) \) sehingga untuk kerucut terpancung yang sangat tipis ( \(\Delta x \to 0 \) ) luas selimutnya \(\Delta L\) dapat dinyatakan dengan
\begin{split}
\Delta L & \approx \pi (f(x) + f(x)) \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x\\
& = 2 \pi f(x) \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x
\end{split}
Dengan menjumlahkan semua semua selimut tabung yang tipis-tipis \[L=\sum 2 \pi f(x) \sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x\] Karena \(\Delta x \to 0\) maka \[L =\int 2 \pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx\]
Contoh :
Tentukan luas permukaan dari hasil perputaran  \(y=2 \sqrt{x}\)  terhadap sumbu x untuk pada interval \(1 \leq x \leq 2\)

Solusi:
\(y=2 \sqrt{x} \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\begin{split} L & = \int 2 \pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx\\ & = \int_{1}^{2} 2 \pi \cdot 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}\ dx\\ & = 4 \pi \int_{1}^{2} \sqrt{x} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{x}\right)}\ dx\\ & = 4 \pi \int_{1}^{2} \sqrt{x + 1}\ dx\\ & = 4 \pi \left[\frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2}\\ & = \frac{8}{3} \pi \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{2} \right)\\ \end{split}

Click to comment