Type something and hit enter

author photo
By On

Distribusi Normal

Di statistika ada sebuah fungsi peluang yang sangat luas penggunaannya dalam penelitian sains maupun sosial. Fungsi peluang yang dimaksudkan adalah fungsi distribusi normal \[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\] Yang namanya fungsi peluang pasti memiliki luas daerah dibawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu X sama dengan 1 pada interval $(-\infty,\infty)$. Tapi saat mencoba membuktikan $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}} f(x)\ \mathrm{d}x = 1$, terdapat kendala pada bagaimana teknik pengintegralan yang digunakan.

Integral Gauss

Fungsi peluang distribusi normal termasuk fungsi Gaussian yakni $f(x)=e^{-x^2}$. Untuk menghitung nilai integral dari fungsi ini secara analitis tidak mudah, karena fungsi dari integral tak tentu \[\int e^{-x^2} \ \mathrm{d}x\] tidak ada. Tetapi nilai dari \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ \mathrm{d}x\] masih bisa dihitung secara analitis menggunakan kalkulus multivariabel.

Transformasi ke Koordinat Polar

Misalkan \[I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ \mathrm{d}x\] maka \begin{split} I^2 & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ \mathrm{d}x \right)^2\\ & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ \mathrm{d}x \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\ \mathrm{d}y \right)\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{-y^2} \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \end{split} Integral ganda di atas berada pada interval $(-\infty,\infty) \times (-\infty,\infty)$. Interval tersebut dapat juga dinyatakan sebagai $(0,2\pi) \times (0,\infty)$ pada koordinat polar, sehingga \begin{split} I^2 & = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \ \mathrm{d}r \ \mathrm{d}\theta \\ & = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \ \mathrm{d}r \ \mathrm{d}\theta\\ & = \int_{0}^{2 \pi} \left( \int_{0}^{\infty}r e^{-r^2} \ \mathrm{d}r \right) \ \mathrm{d}\theta\\ & = \int_{0}^{2 \pi} \left(\left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_{0}^{\infty} \right) \ \mathrm{d}\theta\\ & = \int_{0}^{2 \pi} \left( -\frac{1}{2} \left[ e^{-\infty}-e^{0} \right] \right) \ \mathrm{d}\theta\\ & = \int_{0}^{2 \pi} \left( -\frac{1}{2} \left[ 0-1\right] \right) \ \mathrm{d}\theta\\ & = \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \ \mathrm{d}\theta\\ & = \left[ \frac{1}{2} \theta \right]_{0}^{2 \pi}\\ & = \pi \end{split} Karena \(I^2 = \pi\) maka \[I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ \mathrm{d}x=\sqrt{\pi}\] Teknik pengintgralan seperti di atas ini menurut saya sangat brilliant. Integral tak tentu yang tidak ada tapi dapat dihitung integral tertentunya dengan sangat akurat hanya dengan mengubah sudut pandang terhadap sistem koordinat yang digunakan.

Click to comment