Type something and hit enter

author photo
By On
Pada postingan sebelumnya tentang diskriminan, saya membahas definisi dari diskriminan, khususnya diskriminan persamaan kuadrat. Pada waktu itu saya menggunakan definisinya untuk menurunkan rumus diskriminan persamaan kuadrat. Kali ini saya akan menggunakan cara geometri analitis untuk menurunkan rumusnya.

Misalkan persamaan kuadrat \[ax^2+bx+c=0\] kita tulis menjadi \[ax^2=-bx-c\] kemudian kedua ruasnya dibagi dengan \(a\) sehingga menjadi \[x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\] Berdasarkan persamaan di atas kita akan mencari kriteria dari kurva \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\) agar kurva tersebut memotong di dua titik, menyinggung atau tidak memotong sama sekali.

Kita tahu bahwa diskriminan menentukan jenis akar persamaan kuadrat. Tidak terdapat akar berarti $D < 0$, terdapat satu akar berarti $D = 0$, terdapat 2 akar berarti $D > 0$. Jika Diskriminan dikaitkan dengan kurva \(y=x^2\) dan \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\) maka tidak ada titik potong antara kedua kurva jika $D < 0$, kedua kurva bersinggungan jika $D = 0$, dan kedua kurva berpotongan di dua titik jika $D > 0$.
Diskriminan Persamaan Kuadrat
Dengan bantuan kalkulus, kita akan cari persamaan garis singgung yang berwarna hijau pada gambar di atas. Dimulai dengan mencari titik dimana gradien garis singgung \(y=x^2\) sama dengan gradien garis \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\) yaitu \(-\frac{b}{a}\) \begin{split} & \frac{d}{dx}x^2=-\frac{b}{a}\\ \Rightarrow & 2x=-\frac{b}{a}\\ \Rightarrow & x=-\frac{b}{2a}\\ \Rightarrow & y=\frac{b^2}{4a^2} \end{split} Sekarang kita cari persamaan garis singgungnya di titik \(\left(-\frac{b}{2a},\frac{b^2}{4a^2}\right)\) \begin{split} &y-\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{b}{a}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\\ \Rightarrow & y=-\frac{b}{a}x-\frac{b^2}{2a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow & y=-\frac{b}{a}x-\frac{b^2}{4a^2} \end{split} Jika kita bandingkan garis singgung \[y=-\frac{b}{a}x-\frac{b^2}{4a^2}\] dan \[y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\] maka akan mungkin terjadi beberapa hal berikut terhadap kurva \(y=x^2\) dan \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\)

1. Terdapat dua titik potong jika kurva \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\) terletak di atas garis singgung \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{b^2}{4a^2}\) dengan kata lain \begin{split} & -\frac{c}{a} > -\frac{b^2}{4a^2}\\ & \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} > 0\\ & \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} > 0\\ & b^2 - 4ac > 0 \end{split} 2. Terdapat sebuah garis singgung jika kurva \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\) berhimpit dengan garis singgung \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{b^2}{4a^2}\) dengan kata lain \begin{split} & -\frac{c}{a} = -\frac{b^2}{4a^2}\\ & \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} = 0\\ & \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} = 0\\ & b^2 - 4ac = 0 \end{split} 3. Tidak ada garis garis singgung jika kurva \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\) terletak di bawah garis singgung \(y=-\frac{b}{a}x-\frac{b^2}{4a^2}\) dengan kata lain \begin{split} & -\frac{c}{a} < -\frac{b^2}{4a^2}\\ & \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} < 0\\ & \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} < 0\\ & b^2 - 4ac < 0 \end{split} Jadi \(D=b^2 - 4ac\). ribet ?. Cara seperti ini gampang digunakan untuk membuktikan rumus diskriminan dari persamaan kubik.

Click to comment