Type something and hit enter

author photo
By On
Bagi siswa SMA pasti pernah berhadapan dengan menghitung luas diantara dua kurva. Untuk menghitung luas tersebut digunakan integral, namun terasa sangat panjang ditambah lagi sebelum menghitung integral harus mencari batas integral terlebih dahulu. Untuk mengatasi hal itu saya akan membagikan cara menghitung luasnya beserta pembuktian dan contoh penggunaannya.

Luas daerah di antara kurva $y=ax^2+bx+c$ dan $y=px^2+qx+r$
Cara Cepat Hitung Luas Daerah Antara Dua Kurva Tanpa Integral
Pertama cari batas integralnya yaitu titik potong kedua kurva dengan cara substitusi \begin{split} & ax^2+bx+c=px^2+qx+r\\ \Rightarrow & (a-p)x^2+(b-q)x+(c-r)=0 \end{split} Misalkan $a−p=A$, $b−q=B$, $c−r=C$ maka persamaan terakhir diatas bisa ditulis sebagai \[Ax^2+Bx+C=0\] Misalkan persamaan diatas memiliki akar $x_1$ dan $x_2$, maka luas daerah di antara dua kurva dinyatakan dengan
\begin{split} L & =\int_{x_1}^{x_2} Ax^2+Bx+C \ dx\\ & =\left[\frac{A}{3}x^3+\frac{B}{2}x^2+Cx\right]_{x_1}^{x_2}\\ & =\frac{A}{3} (x_2^3-x_1^3)+\frac{B}{2} (x_2^2-x_1^2)+C (x_2-x_1)\\ & =\frac{A}{3} (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2 x_1+x_1^2)+\frac{B}{2}(x_2-x_1)(x_2+x_1)+C(x_2-x_1)\\ & =\frac{A}{3} (x_2 - x_1)((x_2+x_1)^2 - x_2 x_1)+\frac{B}{2}(x_2-x_1)(x_2+x_1)+C(x_2-x_1) \end{split}
Telah diketahui bahwa \[x_2-x_1=\frac{\sqrt{D}}{A}\] \[x_2+x_1=-\frac{B}{A}\] \[x_2x_1=\frac{C}{A}\] maka persamaan terakhir di atas ini dapat ditulis sebagai
\begin{split} L & =\frac{A}{3} \frac{\sqrt{D}}{A}\left(\left(-\frac{B}{A}\right)^2 - \frac{C}{A}\right)+\frac{B}{2}\left(\frac{\sqrt{D}}{A}\right)\left(-\frac{B}{A}\right)+C\left(\frac{\sqrt{D}}{A}\right)\\ & =\left(\frac{A}{3} \left(\frac{B^2}{A^2} - \frac{C}{A}\right)-\frac{B^2}{2A}+C\right) \frac{\sqrt{D}}{A}\\ & =\left(\frac{B^2}{3A} - \frac{AC}{3A}-\frac{B^2}{2A}+C\right) \frac{\sqrt{D}}{A}\\ & =\left(\frac{-B^2+4AC}{6A}\right) \frac{\sqrt{D}}{A}\\ & =\left(\frac{-D}{6A}\right) \frac{\sqrt{D}}{A}\\ & =-\frac{D\sqrt{D}}{6A^2} \end{split}
Agar irisan dua kurva tersebut memiliki luas maka haruslah terdapat dua titik potong sehingga $D > 0$, karena luas adalah bilangan positif maka rumus luas untuk daerah dua diantara kurva tersebut dinyatakan dengan \[L=\frac{D\sqrt{D}}{6A^2}\] dengan catatan rumus diatas dapat digunakan hanya untuk dua kurva yang berpotongan
Contoh: Hitung luas daerah diantara kurva $y=2x^2+4x+2$ dan $y=x^2-x-2$

Solusi:
\begin{split} & 2x^2+4x+2=x^2-x-2 \\ \Rightarrow & x^2+5x+4=0 \\ \Rightarrow & D=9 \end{split} \[L=\frac{9\sqrt{9}}{6 \cdot 1^2}= \frac{9}{2}\]

3 komentar

avatar

Informasi yang sangat berguna.
Apabila ingin mendapatkan informasi tentang buku-buku bisa kunjungi Perpustakaan Gunadarma
Terima kasih.

avatar

Maaf ya min,

cuma mau memastikan, bukan nya rumus itu untuk selisih dua kurva yang berpotongan dengan bentuk akhir persamaan kuadrat .!!??

Thank you !!

Click to comment