Type something and hit enter

author photo
By On
Bentuk kuadrat selalu ada di pelajaran matematika SMP maupun SMA. Bagi siswa SMP pasti akan berhadapan dengan menyederhanakan aljabar bentuk pecahan. Bagi siswa SMA akan berhadapan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat, dan tentu menyelesaikan beberapa soal tentang limit. Salah satu cara yang dilakukan terhadap bentuk kuadrat ini adalah pemfaktoran, dan kali ini saya akan menjelaskan dan memberikan contohnya

Cara #1 untuk bentuk kuadrat $x^2+bx+c$

bentuk ini adalah yang paling sederhana dan paling mudah difaktorkan menjadi $$x^2+bx+c = (x+p)(x+q)$$ Akan dicari nilai $p$ dan $q$ yang memenuhi kesamaan diatas dengan cara menjabarkan ruas kanan \begin{split} & x^2+bx+c = (x+p)(x+q) \\ \Leftrightarrow & x^2+bx+c = x^2 +px+qx+pq \\ \Leftrightarrow & x^2+bx+c = x^2 +(p+q)x+pq \end{split} Dari kesamaan diatas terlihat bahwa $p$ dan $q$ memenuhi $$p+q=b \text{ dan } pq = c$$ Contoh: faktorkan $x^2+5x-14$

Pertama-tama cari dua bilangan $p$ dan $q$ yang jika dijumlahkan menghasilkan $5$ tetapi jika dikalikan hasilnya $-14$

$$p+q=5 \text{ dan } pq = -14$$ bilangan-bilangan yang memenuhi adalah $7$ dan $-2$ sehingga bentuk $x^2+5x-14$ dapat difaktorkan menjadi $(x+7)(x-2)$

Cara #2 untuk bentuk kuadrat $ax^2+bx+c$ dan $a \neq 0$ dan $a \neq 1$

Bentuk ini bisa difaktorkan menjadi $$ax^2+bx+c=\frac{1}{a}(ax+p)(ax+q)$$ jabarkan ruas kanan maka \begin{split} & ax^2+bx+c = \frac{1}{a}(ax^2+px+qx+pq) \\ \Leftrightarrow & ax^2+bx+c = \frac{1}{a}(a^2x^2+a(p+q)x+pq) \\ \Leftrightarrow & ax^2+bx+c = ax^2 +(p+q)x+\frac{pq}{a} \end{split} Berdasarkan kesamaan diatas didapatkan $p+q=b$ dan $\frac{pq}{a}=c$ atau $pq=ac$

Contoh: faktorkan $2x^2+13x+15$

Cari dua bilangan $p$ dan $q$ yang jika dijumlahkan menghasilkan $13$ tetapi jika dikalikan hasilnya $2\times 15=30$ $$p+q=13 \text{ dan } pq = 30$$ bilangan-bilangan yang memenuhi adalah $3$ dan $10$ sehingga bentuk $2x^2+13x+15$ dapat difaktorkan menjadi \begin{split} & \frac{1}{2}(2x+10)(2x+3)\\ =&(x+5)(2x+3) \end{split}

Cara #3 untuk bentuk kuadrat $ax^2+bx+c$ dan $a \neq 0$ dan $a \neq 1$

Cara 3 ini hanya alternatif untuk cara kedua yang agak panjang. Misalkan $y=ax$ maka $x=\frac{y}{a}$ kemudian kita substitusikan ke bentuk kuadrat sehingga muncul bentuk kuadrat dengan $a=1$ dan faktorkan menggunakan cara 1. Untuk yang ini saya langsung ke contoh saja

Contoh: faktorkan $2x^2+13x+15$

$y=2x$ maka $x=\frac{y}{2}$ substitusi ke bentuk kuadrat sehingga \begin{split} & 2x^2+13x+15 \\ = & 2\left ( \frac{y}{2} \right )^{2}+13\left ( \frac{y}{2} \right )+15\\ = & \frac{y^{2}}{2} +\frac{13y}{2}+15 \end{split} Kalikan 2 bentuk kuadrat diatas $$y^2+13y+30$$ dengan cara 1 kita faktorkan menjadi $$(y+3)(y+10)$$ substitusikan lagi $y=2x$ maka $$(2x+3)(2x+10)$$ karena tadi dikalikan dengan $2$ sekarang kita bagi dengan $2$ agar kembali ke bentuk semula
$$\frac{(2x+3)(2x+10)}{2}=(2x+3)(x+5)$$ Lebih mudah mana jika dibandingkan dengan cara 2 ? :D

Click to comment