Type something and hit enter

author photo
By On
Volume Benda Putar (Metode Cakram)

Jika daerah yang dibatasi fungsi $f(x)$ dan sumbu X pada interval $a \leq x \leq b$ diputar mengelilingi sumbu X maka akan terbentuk bangun tiga dimensi yang memiliki volume. Volume benda hasil perputaran kurva ini bisa dihitung menggunakan integral.

Ketika menyusun integran dalam menentukan luas menggunakan bantuan persegi panjang yang sangat "tipis" dan menjumlahkan luas semua persegi panjang tersebut. Mirip dengan menyusun integran untuk menghitung luas, menyusun integran untuk menghitung volume menggunakan bantuan "sesuatu yang sangat tipis" kemudian jumlahkan.

Sesuatu yang sangat tipis" untuk menghitung volume benda putar ini ada dua macam yaitu cakram(tabung yang tipis) dan selimut tabung. Tetapi dalam tulisan kali ini hanya membahas yang menggunakan metode cakram saja.

Volume Benda Putar (Metode Cakram)

Pada gambar di atas diilustrasikan $y=f(x)$ diputar mengelilingi sumbu X sehingga terbentuk bangun ruang yang bentuknya mirip seperti pot :v. Jika bangun ruang ini dipotong tipis-tipis dari atas maka akan terbentuk banyak cakram-cakram tipis penyusunnya. Jika volume cakram-cakram penyusun ini dijumlahkan maka akan sama dengan volume benda putar yang dihasilkan tadi.

Dari gambar diatas dapat dipahami bahwa ketebalan cakram tersebut sama dengan Δx. Panjang jari-jari cakram merupakan jarak antara titik pada kurva y=f(x) terhadap sumbu x yakni |y|. Sehingga panjang jari-jari setiap cakram belum tentu sama tergantung di dari posisi x letak cakram tersebut.

Dengan menggunakan rumus volume tabung \(V=\pi r^2 t\) maka volume cakram yang tipis tersebut adalah \[\Delta V=\pi |y|^2 \Delta x\] karena y=f(x) maka persamaan diatas menjadi \[\Delta V=\pi \left( f(x_i) \right)^2 \Delta x_i\] Persamaan diatas merupakan rumus untuk sebuah cakram saja yaitu cakram ke i. Jika ingin menghitung volume semua cakram tinggal jumlahkan saja semua cakramnya yaitu \[V=\sum \pi \left( f(x_i) \right)^2 \Delta x_i\] Jika cakram-cakram tersebut tak hingga banyaknya maka ketebalan setiap cakram akan mendekati 0. Sehingga jumlah volume semua cakram-cakram yang ada akan sama dengan volume benda putar yang terjadi.

Jika Δx yang mendekati 0 dilambangkan menggunakan $dx$ dan jumlahan diatas menuju tak hingga maka persamaan diatas menjadi \[V=\int_a^b \pi f(x)^2 \ dx\]

Click to comment