Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Misalkan titik A dan B pada lingkaran \(x^2+y^2-6x-2y+k=0\) sehingga lingkaran di titik A dan B berpotongan di \(C(8,1)\). Jika luas segi empat yang melalui A, B, C dan pusat lingkaran adalah 12, maka \(k=\) ...

Pembahasan
Dari persamaan lingkaran yang telah diketahui didapatkan panjang jari-jarinya \(r=AP=\sqrt{10-k}\) dengan pusat \(P(3,1)\) sehingga \(PC=5\)
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 519
Karena \(\Delta PAC\) adalah segitiga siku-siku di A maka \[AC=\sqrt{5^2-{\sqrt{10-k}}^2}=\sqrt{15+k}\] Karena AP merupakan garis singgung maka AP tegak lurus AC sehingga luas daerah APC=6 bisa dihitung menggunakan rumus luas segitiga \[\frac{AP \times AC}{2}=6\] \[\frac{\sqrt{10-k} \sqrt{15+k}}{2}=6\] Dengan menyelesaikan persamaan di atas didapat \(k=1\)

Soal #2
Jika \(\sin \left ( 2x+75^{\circ} \right )=a\) dan \(\sin \left ( x+45^{\circ} \right )=b\), maka nilai \(\cos \left(3x+120^{\circ}\right) \cos \left(x+30^{\circ}\right)=\cdots\)

Pembahasan
\begin{split}
& \sin \left ( 2x+75^{\circ} \right )=a\\
\Rightarrow & \cos \left ( 2x+75^{\circ} \right )= \sqrt{1-a^2}
\end{split} \begin{split}
& \sin \left ( x+45^{\circ} \right )=b\\
\Rightarrow & \cos \left ( x+45^{\circ} \right )= \sqrt{1-b^2}
\end{split}
Misal \(\alpha = 2x+75^{\circ}\) dan \(\beta = x+45^{\circ}\) jadi
\begin{split}
& \cos \left(3x+120^{\circ}\right) \cos \left(x+30^{\circ}\right) \\
= & \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)\\
= & (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)\\
= & (\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta)\\
= & (1-a^2)(1-b^2)-a^2 b^2\\
= & 1-a^2-b^2
\end{split}
Soal #3
Misalkan \(A(t^2+1,t)\) dan \(B(1,2)\), sehingga panjang proyeksi \( \overrightarrow{OA}\) terhadap \(\overrightarrow{OB}\) lebih dari \(\frac{4}{\sqrt{5}}\), maka nilai t yang mungkin adalah ...

Pembahasan
\begin{split}
& \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{\left | \overrightarrow{OB} \right |} < \frac{4}{\sqrt{5}}\\
\Rightarrow & \frac{\begin{pmatrix} t^2+1\\t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+2^2}} < \frac{4}{\sqrt{5}} \\
\Rightarrow & t^2+1+2t < 4 \\
\Rightarrow & t^2+2t-3 < 0 \\
\Rightarrow & \left ( t+3 \right )\left ( t-1 \right ) < 0 \\
\Rightarrow & -3 < t < 1
\end{split}
Soal #4
Pencerminan garis \(y=-x+2\) terhadap \(y=3\) menghasilkan garis ...

Pembahasan
Bayangan titik \( (x,y) \) oleh pencerminan \(y=3\) adalah \[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 6-y \end{pmatrix}\] substitusikan \( x=x' \) dan \( y=6-y' \) ke persamaan garis diperoleh \[6-y'=-x+2\] atau \[y'=x'+4\]
Soal #5
Pada kubus ABCD.EFGH, P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah FB. Perpanjangan HP dan AQ berpotongan di perpanjangan EF dan titik R. Jika panjang rusuk kubus adalah 2, maka perbandingan volume EAH.FQP : volume ABCD.EFGH adalah...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 522
Bangun EAH.FQP adalah limas terpancung, Oleh karena itu untuk menentukan volumenya digunakan rumus volume limas R.AEH dikurangi volume limas R.QFP

Volume R.AEH $=\frac{1}{3} \times \text{Luas AEH} \times ER$

Volume R.QFP $=\frac{1}{3} \times \text{Luas QFP} \times FR$

Berdasarkan gambar diatas \(\frac{FR}{AB}=\frac{FQ}{QB}=\frac{1}{1} \Rightarrow FR=2\), akibatnya

Volume R.AEH $=\frac{1}{3} \times 2 \times 4 = \frac{8}{3}$ dan

Volume R.QFP $=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 = \frac{1}{3}$

Sehingga volume EAH.FQP adalah \(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)

Jadi \[\frac{\text{volume EAH.FQP}}{\text{volume ABCD.EFGH}}=\frac{\frac{7}{3}}{8}=7:24\]
Soal #6
Suku banyak \(p(x)=(x-a)^5+(x-b)^4 +(x-3) \) habis dibagi \(x^5 - (a+b)x + ab \). Jika \(a \neq b\) dan \(a \neq 4\) maka \(b=\cdots\)

Pembahasan
Karena \(p(x)=(x-a)^5+(x-b)^4 +(x-3) \) habis dibagi \(x^5 - (a+b)x + ab \) maka
\[p(x)=(x-a)^5+(x-b)^4 +(x-3) = f(x)(x^5 - (a+b)x + ab)\]
Substitusikan \(x=a\) dan \(x=b\) ke persamaan di atas
\begin{split}
& (a-a)^5+(a-b)^4 +(a-3) = f(a)(a^5 - (a+b)a + ab)\\
\Rightarrow & (a-a)^5+(a-b)^4 +(a-3)=0\\
\Rightarrow & (a-b)^4 +(a-3)=0\\
\Rightarrow & (a-b)^4 = 3-a
\end{split}
\begin{split}
& (b-a)^5+(b-b)^4 +(b-3) = f(b)(b^5 - (b+b)a + ab)\\
\Rightarrow & (b-a)^5+(b-b)^4 +(b-3)=0 \\
\Rightarrow & (b-a)^5 +(b-3)=0
\end{split}
\begin{split}
& (b-a)^5 +(a-3)=0\\
\Rightarrow & (b-a)^4(b-a)+(a-3)=0\\
\Rightarrow & (3-a)(b-a)+(b-3)=0\\
\Rightarrow & (3-a)(b-a)=3-b\\
\Rightarrow & 4b-3a-ab+a^2=3\\
\Rightarrow & (4-a)b=3+3a-a^2\\
\Rightarrow & b=\frac{3+3a-a^2}{4-a}
\end{split}
Soal #7
Nilai c yang memenuhi \((0,25)^{x^2+4x-c} > (0,0625)^{x^2+x-4}\) adalah...

Pembahasan
\begin{split}
& (0,25)^{x^2+4x-c} > (0,0625)^{x^2+x-4}\\
\Rightarrow & (0,25)^{x^2+4x-c} > (0,25)^{2x^2+2x-8}\\
\Rightarrow & x^2+4x-c < 2x^2+2x-8\\
\Rightarrow & -x^2+2x-c+8 < 0
\end{split}
Karena pertidaksamaan selalu terpenuhi untuk setiap $x$ maka Diskriminan dari pertidaksamaan diatas kurang dari 0 yakni
\begin{split}
& b^2-4ac < 0\\
\Rightarrow & 4-4(-1)(-c+8) < 0\\
\Rightarrow & 4-4c+32 < 0\\
\Rightarrow & c > 9
\end{split}
Soal #8
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar \(9^x-3^{x+1} - 3 \cdot 3^{x+2} -5 \cdot 3^{x+3}+c =0\) di mana \(x_1 + x_2 = 2 \cdot {}^3\!\log 5 +1\), maka \(c=\) ...

Pembahasan
\begin{split}
& 9^x-3^{x+1} - 3 \cdot 3^{x+2} -5 \cdot 3^{x+3}+c =0 \\
\Rightarrow & (3^x)^2-3\cdot 3^x - 3 \cdot 3^2 \cdot 3^x -5 \cdot 3^3 \cdot 3^x+c =0 \\
\Rightarrow & (3^x)^2-(3+3\cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3)\cdot 3^x+c =0 \\
\Rightarrow & 3^{x_1} 3^{x_2} =c\\
\Rightarrow & 3^{x_1 + x_2} =c\\
\Rightarrow & x_1 + x_2 ={}^3\!\log c\\
\Rightarrow & 2 \times {}^3\!\log 5 +1 ={}^3\!\log c\\
\Rightarrow & {}^3\!\log c ={}^3\!\log 25 + {}^3\!\log 3\\
\Rightarrow & {}^3\!\log c ={}^3\!\log 75\\
\Rightarrow & c=75
\end{split}
Soal #9
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x}= \cdots$

Pembahasan
\begin{split}
\lim_{x \to 1} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x}
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x} \frac{\left (\sqrt{5-x}+2\right )}{\left (\sqrt{5-x}+2\right )}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left ( 1-x \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{\left (1-x \right )\left ( \sqrt{5-x}+2 \right )}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{\left ( \sqrt{5-x}+2 \right )}\\
= & \frac{\left ( \sqrt{2-1}+1 \right )}{\left ( \sqrt{5-1}+2 \right )} = \frac{1}{2}
\end{split}

Soal #10
Jika \(u_1 \text{,} u_2 \text{,} u_3 \text{,} \cdots\) adalah barisan geometri yang memenuhi \(u_3 - u_6=x\) dan \(u_2 - u_4=y\), maka \(\frac{x}{y}=\cdots\)

Pembahasan
\begin{split}
\frac{x}{y} = & \frac{u_3 - u_6}{u_2 - u_4}\\
= & \frac{ar^2 - ar^5}{ar - ar^3}\\
= & \frac{r^2 \left (1 - r^3 \right )}{r\left (1 - r^2 \right )}\\
= & \frac{r (1 - r)(1+r+r^2)}{(1 - r)(1+r)}\\
= & \frac{r^3+r^2+r}{r+1}
\end{split}
Soal #11
Fungsi \(f(x)=\sqrt{\cos^2 2x + x }\) , \(x > 0\) naik pada interval ...

Pembahasan
\(f(x)\) naik jika \(f'(x) > 0\).
\begin{split}
& f(x)=(\cos^2 2x + x )^{\frac{1}{2}}\\
\Rightarrow & f'(x) = \frac{4 (\cos 2x)(-\sin 2x) +1}{2 \sqrt{\cos^2 2x + x }} > 0\\
\Rightarrow & \frac{-2 \sin 4x +1}{2 \sqrt{\cos^2 2x + x }} > 0\\
\Rightarrow & -2 \sin 4x +1 > 0\\
\Rightarrow & \frac{5 \pi}{24} < x < \frac{13 \pi}{24}
\end{split}
Soal #12
Pada interval \(-c \leq x \leq 0 \), luas daerah dibawah kurva \(y=-x^2\) dan diatas \(y=2x\) sama dengan luas daerah diatas \(y=-x^2\) dan dibawah \(y=2x\). Nilai \(c=\) ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 519
Terlebih dahulu ditentukan titik potong garis dan kurva
\begin{split}
& -x^2=2x\\
\Rightarrow & -x^2 - 2x =0\\
\Rightarrow & x=0 \text{ atau } x=-2
\end{split}
Sehingga
\begin{split}
& \int_{-c}^{-2} 2x+x^2 \ dx =\int_{-2}^{0} -x^2-2x \ dx\\
\Rightarrow & \left [x^2+\frac{x^{3}}{3} \right ]_{-c}^{-2} =\left [-\frac{x^{3}}{3}-x^2 \right ]_{-2}^{0}\\
\Rightarrow & \left [4-\frac{8}{3} \right ] - \left [c^2-\frac{c^3}{3} \right ] =0-\left [\frac{8}{3}-4 \right ]\\
\Rightarrow & -c^2+\frac{c^3}{3}=0\\
\Rightarrow & \frac{c^3}{3}=c^2\\
\Rightarrow & c=3
\end{split}
Soal #13
Banyak kurva \(Ax^2-\left(\frac{By}{2}\right)^2=0 \) dengan A dan B dua bilangan berbeda yang dipilih dari {0,1,3,6} adalah ...

Pembahasan
Banyak persamaan berbeda yang mungkin bisa dibuat sebanyak \(4 \times 3 = 12\). Jika \(A=0\) didapatkan 3 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 12-3+1=10 persamaan berbeda. Jika \(B=0\) didapatkan 3 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 10-3+1=8 persamaan berbeda.

Soal #14
Tiga kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu kelas masing-masing terdiri atas siswa perempuan saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang dua laki-laki dan satu perempuan adalah 7/36. Peluang terpilih paling sedikit satu orang diantaranya laki-laki adalah ...

Pembahasan
Misalkan
\(n_{LA}=\) banyak laki-laki di kelas A
\(n_{LB}=\) banyak laki-laki di kelas B
\(n_{PA}=\) banyak perempuan di kelas A
\(n_{PB}=\) banyak perempuan di kelas B
dan kelas C yang terdiri atas perempuan saja
\begin{split}
& \frac{n_{LA}}{30} \frac{n_{LB}}{30} \frac{n_{PC}}{30}= \frac{7}{36}\\
\Rightarrow & n_{LA} n_{LB} = 7 \times 5 \times 5\\
\Rightarrow & n_{LA}=7 \text{ dan }n_{LB} = 25
\end{split}
Jadi peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah
\begin{split}
& \frac{n_{LA}}{30} \frac{n_{LB}}{30} \frac{n_{PC}}{30} + \frac{n_{LA}}{30} \frac{n_{PB}}{30} \frac{n_{PC}}{30} + \frac{n_{PA}}{30} \frac{n_{LB}}{30} \frac{n_{PC}}{30} \\
= & \frac{7}{30} \frac{25}{30} \frac{30}{30} + \frac{7}{30} \frac{5}{30} \frac{30}{30} + \frac{23}{30} \frac{25}{30} \frac{30}{30}\\
= & \frac{785}{900}\\
= & \frac{157}{180}
\end{split}
Soal #15
Diketahui deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi \(f(x)=-\frac{2}{3}x^3+2x+\frac{2}{3}\) untuk \(-1 \leq x \leq 2\). Selisih suku kedua dan dan suku pertama deret geometri tersebut adalah \(-2f'(0)\). Rasio deret geometri tersebut adalah ...

Pembahasan
Nilai maksimum dari \(f(x)\) tercapai jika \(f'(x)=0\)
\begin{split}
& f'(x)=-2x^2+2=0\\
\Rightarrow & x=1 \text{ atau } x=-1
\end{split}
Nilai-nilai maksimum yang mungkin adalah $f(-1)=-\frac{2}{3}$, $f(1)=2$, $f(2)=-\frac{2}{3}$. Jadi nilai maksimumnya adalah 2.
\begin{split}
& U_2-U_1=-2 f'(0)=-4\\
\Rightarrow & ar -a = -4\\
\Rightarrow & a(r-1)=-4\\
\Rightarrow & a=\frac{-4}{r-1}
\end{split}
Dengan menggunakan rumus jumlah tak hingga deret geometri
\begin{split}
& S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=2\\
\Rightarrow & \frac{-4}{(1-r)(r-1)}=2\\
\Rightarrow & r= 1-\sqrt{2}
\end{split}

Click to comment