Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Misalkan titik A dan B pada lingkaran \(x^2+y^2-6x-2y+k=0\) sehingga lingkaran di titik A dan B berpotongan di \(C(8,1)\). Jika luas segi empat yang melalui A, B, C dan pusat lingkaran adalah 12, maka \(k=\) ...

Pembahasan
Dari persamaan lingkaran yang telah diketahui didapatkan panjang jari-jarinya \(r=AP=\sqrt{10-k}\) dengan pusat \(P(3,1)\) sehingga \(PC=5\)
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 522
Karena \(\Delta PAC\) adalah segitiga siku-siku di A maka \[AC=\sqrt{5^2-{\sqrt{10-k}}^2}=\sqrt{15+k}\] Karena AP merupakan garis singgung maka AP tegak lurus AC sehingga luas daerah APC=6 bisa dihitung menggunakan rumus luas segitiga \[\frac{AP \times AC}{2}=6\] \[\frac{\sqrt{10-k} \sqrt{15+k}}{2}=6\] Dengan menyelesaikan persamaan di atas didapat \(k=1\)

Soal #2
Jika \(\cos \left ( x+15^{\circ} \right )=a\) dengan \(0^{\circ} \leq x \leq 30^{\circ}\), maka nilai \(\cos \left(2x+60^{\circ} \right)\) adalah...

Pembahasan
\begin{split}
& \cos \left(2x+60^{\circ} \right)\\
= & \cos \left( \left(2x+30^{\circ}\right)+30^{\circ} \right)\\
= & \cos \left(2x+30^{\circ}\right) \cos 30^{\circ}-\sin \left(2x+30^{\circ}\right) \sin 30^{\circ}\\
= & \cos 2\left(x+15^{\circ}\right) \cos 30^{\circ}-\sin 2\left( x+15^{\circ} \right) \sin 30^{\circ}\\
= & \left( 2 \cos^2 \left( x+15^{\circ} \right ) -1 \right) \cos 30^{\circ}-2\sin \left( x+15^{\circ}\right) \cos \left( x+15^{\circ}\right) \sin 30^{\circ}\\
= & \left(2 a^2 -1 \right) \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{1-a^2} a \frac{1}{2}\\
= & \frac{\sqrt{3}}{2} \left(2 a^2 -1 \right) - a \sqrt{1-a^2}
\end{split}

Soal #3
Misalkan \(A(t^2+1,t)\) dan \(B(1,2)\), sehingga panjang proyeksi \( \overrightarrow{OA}\) terhadap \( \overrightarrow{OB}\) lebih kecil dari \(\frac{9}{\sqrt{5}}\), maka nilai t yang mungkin adalah ...

Pembahasan
\begin{split}
& \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{\left | \overrightarrow{OB} \right |} < \frac{9}{\sqrt{5}}\\
\Rightarrow & \frac{\begin{pmatrix} t^2+1\\t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+2^2}} < \frac{9}{\sqrt{5}}\\
\Rightarrow & t^2+1+2t < 9\\
\Rightarrow & t^2+2t-8 < 0\\
\Rightarrow & \left ( t+4 \right )\left ( t-2 \right ) < 0\\
\Rightarrow & -4 < t < 2
\end{split}

Soal #4
Pencerminan garis \(y=-x+2\) terhadap \(y=3\) menghasilkan garis ...

Pembahasan
Bayangan titik \( (x,y) \) oleh pencerminan \(y=3\) adalah \[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 6-y \end{pmatrix}\] substitusikan \( x=x' \) dan \( y=6-y' \) ke persamaan garis diperoleh \[6-y'=-x+2\] atau \[y'=x'+4\]
Soal #5
Pada kubus ABCD.EFGH, P adalah pada FG dengan FP:PG=1:2 dan Q pada FB dengan FQ:QB=1:2. Perpanjangan HP dan AQ berpotongan di perpanjangan EF dan titik R. Jika panjang rusuk kubus adalah 6, maka volume EAH.FQP adalah...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 522
Bangun EAH.FQP adalah limas terpancung, Oleh karena itu untuk menentukan volumenya digunakan rumus volume limas R.AEH dikurangi volume limas R.QFP \[\text{Volume R.AEH}=\frac{1}{3} \times \text{Luas AEH} \times ER\] \[\text{Volume R.QFP}=\frac{1}{3} \times \text{Luas QFP} \times FR\]
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 522
Berdasarkan gambar diatas \(\frac{FR}{AB}=\frac{FQ}{QB}=\frac{1}{2} \rightarrow FR=3\) sehingga \[\text{Volume R.AEH}=\frac{1}{3} \times 18 \times 9 = 54 \] dan \[\text{Volume R.QFP}=\frac{1}{3} \times 2 \times 3 =2\] Jadi Volume EAH.FQP adalah \(54-2=52\)

Soal #6
Sisa pembagian \(Ax^{2014} - Bx^{2015} +2x+1\) oleh \(x^2-1\) adalah \(x+2\). Nilai \(A+B\) adalah ...

Pembahasan
\[Ax^{2014} - Bx^{2015} +2x+1=h(x)(x^2-1)+x+2\] Jika \(x=-1\) disubstitusikan ke persamaan diatas maka
\begin{split}
& A(-1)^{2014}-B(-1)^{2015}-2+1=h(-1)((-1)^2-1)-1+2\\
\Rightarrow & A+B-2+1=1\\
\Rightarrow & A+B=2
\end{split}
Soal #7
Nilai c yang memenuhi \((0,25)^{3x^2+6x-c}<(0,0625)^{x^2+2x+15}\) adalah...

Pembahasan
\begin{split}
& (0,25)^{3x^2+6x-c}<(0,0625)^{x^2+2x+15}\\
\Rightarrow & (0,25)^{3x^2+6x-c}<(0,25)^{2x^2+4x+30}\\
\Rightarrow & 3x^2+6x-c>2x^2+4x+30\\
\Rightarrow & x^2+2x-c-30>0
\end{split}
Karena pertidaksamaan selalu terpenuhi untuk setiap $x$ maka Diskriminan dari pertidaksamaan diatas kurang dari 0 yakni
\begin{split}
& b^2-4ac < 0\\
\Rightarrow & 4-4(-c-30) < 0\\
\Rightarrow & 4+4c+120 < 0\\
\Rightarrow & c < -31
\end{split}
Soal #8
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar \(9^x-4 \cdot 3^{x+1} - 2 \cdot 3^x +a=0\) di mana \(x_1 + x_2 = 2 \cdot ^3 \log 2 +1\), maka \(a=\) ...

Pembahasan
\begin{split}
& 9^x-4 \cdot 3^{x+1} - 2 \cdot 3^x +a=0\\
\Rightarrow & (3^x)^2-12 \cdot 3^x -2 \cdot 3^x +a=0\\
\Rightarrow & (3^x)^2-14 \cdot 3^x +a=0\\
\Rightarrow & 3^{x_1} 3^{x_2} =a\\
\Rightarrow & 3^{x_1 + x_2} =a\\
\Rightarrow & x_1 + x_2 = {}^3\!\log a\\
\Rightarrow & 2 \times {}^3\!\log 2 +1 = {}^3\!\log a\\
\Rightarrow & {}^3\!\log a = {}^3\!\log 12\\
\Rightarrow & a = 12
\end{split}
Soal #9
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x}= \cdots$$

Pembahasan
\begin{split}
& \lim_{x \to 1} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left (\sqrt{5-x}-2 \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{1-x} \frac{\left (\sqrt{5-x}+2\right )}{\left (\sqrt{5-x}+2\right )}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left ( 1-x \right )\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{\left (1-x \right )\left ( \sqrt{5-x}+2 \right )}\\
= & \lim_{x \to 1} \frac{\left ( \sqrt{2-x}+1 \right )}{\left ( \sqrt{5-x}+2 \right )}\\
= & \frac{\left ( \sqrt{2-1}+1 \right )}{\left ( \sqrt{5-1}+2 \right )}\\
= & \frac{1}{2}
\end{split}

Soal #10
Jika \(u_1 \text{,} u_2 \text{,} u_3 \text{,} \cdots\) adalah barisan geometri yang memenuhi \(u_3 - u_6=x\) dan \(u_2 - u_4=y\), maka \(\frac{x}{y}=\cdots\)

Pembahasan
\begin{split}
\frac{x}{y} = & \frac{u_3 - u_6}{u_2 - u_4}\\
= & \frac{ar^2 - ar^5}{ar - ar^3}\\
= & \frac{r^2 \left (1 - r^3 \right )}{r\left (1 - r^2 \right )}\\
= & \frac{r (1 - r)(1+r+r^2)}{(1 - r)(1+r)}\\
= & \frac{r^3+r^2+r}{r+1}
\end{split}

Soal #11
Fungsi \(f(x)=-2\sqrt{\sin x -\frac{x}{2} +5 }\), \(-5 < x < 5\) turun pada interval

Pembahasan
\(f(x)\) turun jika \(f'(x) < 0\).
Jika
\begin{split}
f(x) & =-2\sqrt{\sin x -\frac{x}{2} +5 }\\
& = -2(\sin x -\frac{x}{2} +5)^{\frac{1}{2}}
\end{split}
maka
\begin{split}
f'(x) & =-(\sin x -\frac{x}{2}+5)^{-\frac{1}{2}}(\cos x -\frac{1}{2}) < 0\\
\Rightarrow & \frac{-\cos x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\sin x -\frac{x}{2}+5}} < 0
\end{split}
Penyebut dari pertidaksamaan di atas adalah bilangan real positif, akibatnya pertidaksamaan di atas dapat disederhanakan menjadi
\begin{split}
& -\cos x + \frac{1}{2} < 0\\
\Rightarrow & -\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}
\end{split}
Soal #12
Pada interval \(0 \leq x \leq 20 \), luas daerah dibawah kurva \(y=x^2\) dan diatas \(y=kx\) sama dengan luas daerah diatas \(y=x^2\) dan dibawah \(y=kx\). Nilai \(k=\) ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2015 TKD Saintek Matematika Kode 522
Terlebih dahulu ditentukan titik potong garis dan kurva
\begin{split}
& x^2=kx\\
\Rightarrow & x^2 - kx =0\\
\Rightarrow & x=0 \text{ atau } x=k\\
\end{split}
Sehingga
\begin{split}
& \int_{0}^k kx-x^2 \ dx =\int_{k}^{20} x^2-kx \ dx\\
\Rightarrow & \left [\frac{kx^2}{2}-\frac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{k} =\left [\frac{x^{3}}{3}-\frac{kx^2}{2} \right ]_{k}^{20}\\
\Rightarrow & \left [\frac{k^3}{2}-\frac{k^{3}}{3} \right ] =\left [\frac{20^{3}}{3}-\frac{k20^2}{2} \right ]-\left [\frac{k^{3}}{3}-\frac{k^3}{2} \right ]\\
\Rightarrow & 0 =\left [\frac{20^{3}}{3}-\frac{k20^2}{2} \right ]\\
\Rightarrow & \frac{k20^2}{2} =\frac{20^{3}}{3}\\
\Rightarrow & \frac{k}{2} =\frac{20}{3}\\
\Rightarrow & k=13 \frac{1}{3}
\end{split}
Soal #13
Banyak kurva \(Ax^2+\left(\frac{By}{2}\right)^2=0 \) dengan A dan B dua bilangan berbeda yang dipilih dari {-1,0,1,2,4} adalah ...

Pembahasan
Banyak persamaan berbeda yang mungkin bisa dibuat sebanyak \(5 \times 4 = 20\).

Jika \(A=0\) didapatkan 4 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 20-4+1=17 persamaan berbeda.

Jika \(B=0\) didapatkan 4 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 17-4+1=14 persamaan berbeda.

Jika \(A=2\) dan \(B=-1\) atau \(B=1\) didapatkan 2 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 14-2+1=13 persamaan berbeda.

Jika \(A=4\) dan \(B=-1\) atau \(B=1\) didapatkan 2 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 13-2+1=12 persamaan berbeda.

Jika \(A=1\) dan \(B=1\) atau \(A=4\) dan \(B=2\) didapatkan 2 persamaan yang setara sehingga sekarang tersisa sebanyak 12-2+1=11 persamaan berbeda.

Soal #14
Dua kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah 11/36. Peluang terpilih sedikitnya satu diantaranya laki-laki adalah ...

Pembahasan
Misalkan
\(n_{LA}=\) banyak laki-laki di kelas A
\(n_{LB}=\) banyak laki-laki di kelas B
\(n_{PA}=\) banyak perempuan di kelas A dan
\(n_{PB}=\) banyak perempuan di di kelas B.
\begin{split}
& \frac{n_{LA}}{30} \frac{n_{LB}}{30} = \frac{11}{36}\\
\Rightarrow & n_{LA} n_{LB} = 11 \times 5 \times 5\\
\Rightarrow & n_{LA}=25 \text{ dan }n_{LB} = 11\\
\end{split}
Jadi peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah
\begin{split}
& \frac{n_{LA}}{30} \frac{n_{LB}}{30} + \frac{n_{LA}}{30} \frac{n_{PB}}{30} + \frac{n_{PA}}{30} \frac{n_{LB}}{30}\\
= & \frac{25}{30} \frac{11}{30} + \frac{25}{30} \frac{19}{30} + \frac{5}{30} \frac{11}{30}\\
= & \frac{275 + 475 + 55}{900}\\
= & \frac{805}{900}\\
= & \frac{161}{180}
\end{split}
Soal #15
Diketahui deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi \(f(x)=-\frac{2}{3}x^3+2x+\frac{2}{3}\) untuk \(-1 \leq x \leq 2\). Selisih suku kedua dan dan suku pertama deret geometri tersebut adalah \(-2f'(0)\). Rasio deret geometri tersebut adalah ...

Pembahasan
Nilai maksimum dari \(f(x)\) tercapai jika \(f'(x)=0\)
\begin{split}
& f'(x)=-2x^2+2=0\\
\Rightarrow & x=1 \text{ atau } x=-1
\end{split}
Nilai-nilai maksimum yang mungkin adalah $f(-1)=-\frac{2}{3}$, $f(1)=2$, $f(2)=-\frac{2}{3}$. Jadi nilai maksimumnya adalah 2.
\begin{split}
& U_2-U_1=-2 f'(0)=-4\\
\Rightarrow & ar -a = -4\\
\Rightarrow & a(r-1)=-4\\
\Rightarrow & a=\frac{-4}{r-1}
\end{split}
Dengan menggunakan rumus jumlah tak hingga deret geometri
\begin{split}
& S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=2\\
\Rightarrow & \frac{-4}{(1-r)(r-1)}=2\\
\Rightarrow & r= 1-\sqrt{2}
\end{split}

Click to comment