Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Jika a dan b adalah bilangan real positif, maka $\dfrac{(\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{b}(2\sqrt{2a}+\sqrt{b})}{-2a}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{(\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{b}(2\sqrt{2a}+\sqrt{b})}{-2a}\\ = & \dfrac{2a+2\sqrt{2ab}+b-2\sqrt{2ab}-b}{-2a}\\ = & \dfrac{2a}{-2a}\\ = & -1 \end{split}

Soal #47
Jika k adalah bilangan real positif, serta k + 3, k + 1, dan k adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima barisan geometri, maka jumlah dua suku pertama barisan tersebut adalah ...

Pembahasan
k + 3, k + 1, dan k merupakan tiga suku berurutan dari barisan geometri maka berlaku \begin{split} & \frac{k+1}{k+3}=\frac{k}{k+1}\\ \Rightarrow & (k+1)^2=k(k+3)\\ \Rightarrow & k^2+2k+1=k^2+3k\\ \Rightarrow & k=1 \end{split} Oleh karena itu U3 = 4, U4 = 2, U5 = 1 dan rasio = $\frac{U_4}{U_3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

$U_3=ar^2=4 \Rightarrow a \left( \frac{1}{2} \right)^2=4 \Rightarrow a=16$

Jadi $U_1+U_2=a+ar=16+16\cdot \dfrac{1}{2}=24$

Soal #48
SBMPTN 2015 TKPA MATEMATIKA KODE 622
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah ...

Pembahasan
Luas ΔAEF = $\frac{EF \times AB}{2}=\frac{5 \times 9}{2}=\frac{45}{2})$

Luas ΔAGH = $\frac{GH \times AD}{2}=\frac{3 \times 15}{2}=\frac{45}{2}$

Jadi luas daerah yang diarsir adalah $\frac{45}{2}+\frac{45}{2}=45$

Soal #49
Diketahui 2log p = $\frac{1}{3}$ dan 3log q = $\frac{1}{2}$. Jika x = p2 dan y = q3 maka xlog y = ...

Pembahasan
2log p = $\frac{1}{3}$ maka p = $2^{\frac{1}{3}}$ maka $x=(2^{\frac{1}{3}})^2=2^{\frac{2}{3}}$

3log q = $\frac{1}{2}$ maka q = $3^{\frac{1}{2}}$ maka $y=(3^{\frac{1}{2}})^3=2^{\frac{3}{2}}$

Jadi xlog y = $^{2^{\frac{2}{3}}} \log 3^{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}} \left(^2 \log 3 \right)= \frac{9}{4} \left( ^2 \log 3 \right)$

Soal #50
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa per mata kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara kurang dari 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak kurang dari 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah ...
SBMPTN 2015 TKPA MATEMATIKA KODE 622
Pembahasan
$\bar{x}=\dfrac{6 \times 3 + 7 \times 4 + 8 \times 3}{3+4+3}=7$

Soal #51
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{3}{x} < x - 2$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{3}{x} < x-2\\ \Rightarrow & \frac{3}{x}-x+2 < 0\\ \Rightarrow & \frac{3-x^2+2x}{x} < 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-2x-3}{x} > 0\\ \Rightarrow & \frac{(x-3)(x+1)}{x} > 0 \end{split} Pembuat 0 pada pertidaksamaan diatas adalah x = 3, x = −1 dan x = 0. Dengan menggunakan garis bilangan dan uji titik didapatkan solusinya x < −1 atau 0 < x < 3

Soal #52
Diketahui suatu fungsi f bersifat f(−x) = −f(x) untuk setiap bilangan real x. Jika f(3) = −5 dan f(−5) = 1, maka f(f(−3)) = ...

Pembahasan
f(f(−3)) = f(−f(3)) = f(−(−5)) = f(5) = −f(−5) = −1

Soal #53
Diketahui sistem persamaan linier $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{x-y}{3}=1\ ...\text{(i)}\\ \dfrac{x+y}{3}-\dfrac{y+1}{2}=2\ ...\text{(ii)}\end{matrix}\right.$$ Nilai x + y = ...

Pembahasan
Kalikan persamaan (i) dengan 6 diperoleh (3x+6) − (2x−2y) = 6 atau x + 2y = 0
Kalikan persamaan (ii) dengan 6 diperoleh (2x+2y) − (3y+3) = 12 atau 2xy = 15

Dengan menyelesaikan SPLDV di atas diperoleh x = 6 dan y = −3. Jadi x + y = 3

Soal #54
Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu, diperlukan biaya Rp. 900.000. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda, besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan setengah dari jumlah kontribusi siswa yang lain. Siswa B memberikan kontribusi sepetiga dari jumlah kontribusi siswa yang lain. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi siswa yang lain. Besar kontribusi siswa yang lain adalah ...

Pembahasan
$A+B+C+D=900000$ ...(1)
$A=\dfrac{1}{2}(B+C+D) \Rightarrow D=2A-B-C$ ...(2)
$B=\dfrac{1}{3}(A+C+D) \Rightarrow D=3B-A-C$ ...(3)
$C=\dfrac{1}{4}(A+B+D) \Rightarrow D=4C-A-B$ ...(4)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) didapatkan A = 300000
Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) didapatkan B = 225000
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) didapatkan C = 180000

Jadi D = 900000 − 300000 − 225000 − 180000 = 195000

Soal #55
Jika f−1(4x + 5) = 8x + 12 maka f(x) = ...

Pembahasan
Jika f−1(4x + 5) = 8x + 12 maka f(8x + 12) = 4x + 5 ...(i)

Misalkan y = 8x + 12 maka $x = \dfrac{y-12}{8}$, kemudian substitusikan ke persamaan (i) diperoleh $f(y) = 4\left( \dfrac{y-12}{8} \right) + 5= \dfrac{y-2}{2}$

Jadi $f(x)=\dfrac{x-2}{2}$

Soal #56
Jika $A=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 4 & a\end{pmatrix}$ merupakan matriks yang mempunyai invers dan det(B) = 4, maka hasil kali semua nilai a yang mungkin sehingga det(A) = 16det((AB)−1) adalah ...

Pembahasan
det(A) = 16det((AB)−1) maka \begin{split} & det(A) = \frac{16}{\det(AB)}\\ \Rightarrow & \det(A) = \frac{16}{\det(A)\det(B)}\\ \Rightarrow & \det(A) = \frac{16}{4\det(A)}\\ \Rightarrow & \det(A) = \frac{4}{\det(A)}\\ \Rightarrow & 8-a = \frac{4}{8-a}\\ \Rightarrow & (8-a)^2 = 4\\ \Rightarrow & (8-a) = 2 \text{ atau } 8-a=-2\\ \Rightarrow & a= 6 \text{ atau } a= 10 \end{split} Jadi hasil kali semua nilai a yang mungkin adalah 6 × 10 = 60

Soal #57
Jika akar-akar x2ax − b = 0 saling berkebalikan dan salah satu akar tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka nilai terkecil yang mungkin untuk a − b adalah ...

Pembahasan
Misalkan akar-akar yang saling berkebalikan tersebut adalah m dan n berarti mn = 1 atau $\dfrac{-b}{1}=1 \Rightarrow b=-1$ sehingga persamaan kuadrat tersebut adalah x2ax + 1 = 0

Memiliki akar berarti D ≥ 0 \begin{split} & a^2-4 \geq 0 \\ \Rightarrow & (a+2)(a-2) \geq 0 \\ \Rightarrow & -2 \leq a \leq 2 \end{split}

Jadi nilai terkecil yang mungkin dari a − b = −2 − 1 = −3

Soal #58
Jika grafik fungsi y = x2 − 9 memotong sumbu x di titik A dan B, serta memotong sumbu y di titik C, maka luas segitiga ABC adalah ...

Pembahasan
y = x2 − 9 memotong sumbu X di (3,0) dan (−3,0) dan memotong sumbu Y di (0,−9) maka luas daerah yang terbentuk adalah $\dfrac{9 \times 6}{2}=27$

Soal #59
Nilai semua tes matematika dinyatakan dengan bilangan bulat antara 0 dan 10. Median terkecil dari yang mungkin bagi siswa yang memiliki rata-rata nilai 6 dari enam kali tes adalah ...

Pembahasan
Median terkecil berarti c + d harus minimum. Agar c + d minimum maka e + f harus maksimum yaitu ketika e = 10 dan f=10. a + b + c + d + 10 + 10 = 36 maka a + b + c + d = 16.

Median minimum berarti c + d harus minimum. Agar c + d minimum maka a + b harus maksimum. Karena telah terurut berarti c + d ≥ a + b sehingga nilai minimum untuk c + d adalah 8 ketika a + b juga sama dengan 8.

Jadi susunan nilai yang mungkin agar didapatkan median terkecil adalah 4,4,4,4,10,10 sehingga median terkecil yang mungkin adalah 4

Soal #60
Empat buku berjudul Matematika, satu buku berjudul Ekonomi, dan satu buku berjudul Bahasa akan disusun di lemari buku dalam sau baris. Misalkan A adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian A adalah...

Pembahasan
Banyak cara menyusun keenam buku tersebut jika judul sama tidak dibedakan adalah $\dfrac{6!}{4!}=30$

3 buku matematika berdekatan dan 1 buku matematika terpisah dengan yang lain maka terdapat 4 objek (3 matematika, 1 matematika, 1 ekonomi, 1 bahasa) dengan 2 objek tidak boleh berdekatan (3 matematika dan 1 matematika). Sehingga susunan yang mungkin sebanyak 4! − 3!×2 = 12

4 buku matematika berdekatan maka terdapat 3 objek sehingga susunan yang mungkin sebanyak 3! = 6

Jadi kemungkinan kejadian A adalah 30 − 12 − 6 = 12, Sehingga \(P(A)=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}\)

Click to comment