Type something and hit enter

author photo
By On
Diberikan sebuah kurva y = f(x), berapakah panjang kurva tersebut pada interval axb ?

Untuk menentukan panjang kurva pada suatu interval digunakan bantuan rumus pythagoras dan integral. Potong kurva menjadi kecil-kecil, hitung panjangnya menggunakan rumus pythagoras kemudian jumlahkan semua potongan-potongannya dengan cara integral. Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut


Berdasarkan gambar diatas \begin{split} p \approx & \Delta s = \sqrt{ \left (\Delta x \right )^2 + \left (\Delta y \right )^2}\\ \Rightarrow & \Delta s= \sqrt{ \left (1 + \left (\frac{\Delta y}{\Delta x}\right )^2 \right )\left (\Delta x \right )^2}\\ \Rightarrow & \Delta s= \sqrt{ 1 + \left (\frac{\Delta y}{\Delta x} \right )^2}(\Delta x)\\ \Rightarrow & s = \sum \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right )^2}\Delta x \end{split} Jika potongannya sangat sangat kecil yakni Δs menuju 0 maka Panjang Kurva dapat dinyatakan dengan $$\int \sqrt{ 1 + \left (\frac{dy}{dx} \right )^2}\ dx$$ Contoh: Tentukan panjang kurva \(y=\dfrac{1}{3}(x^2+2)^{\frac{3}{2}}\) pada interval 0 ≤ x ≤ 3

Solusi:

$\dfrac{dy}{dx}=x(x^2+2)^{\frac{1}{2}}$ maka $\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2 = x^2(x^2+2)=x^4+2x^2$ sehingga panjang kurva tersebut adalah \begin{split} & \int_0^3 \sqrt{1+x^4+2x^2}\ dx\\ = & \int_0^3 \sqrt{(x^2+1)^2} \ dx\\ = & \int_0^3 x^2+1 \ dx\\ = & \left [ \frac{1}{3}x^3+x \right ]_0^3\\ = & 12 \end{split}

Click to comment