Type something and hit enter

author photo
By On
Sejak SMP telah diajarkan bahwa hasil perkalian gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah −1, namun apakah pernah terpikirkan mengapa hal tersebut bisa terjadi? Saya rasa sangat sedikit siswa bartanya hal seperti ini, karena kebanyakan siswa berfikir yang penting bisa menggunakan rumus "perkalian dua gradien sama dengan negatif 1".
Gradien Dua Garis Tegak Lurus
Oleh sebab itu, kali ini akan kita buktikan bahwa perkalian gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah negatif 1. Untuk mempermudah pembuktian, sebelumnya kita translasi garis 1 dan garis 2 pada gambar di atas sedemikian sehingga titik potongnya di titik pusat atau titik $O(0,0)$. Gradien suatu garis tidak akan berubah walaupun di translasi. Berikut hasil translasinya
Gradien Dua Garis Tegak Lurus
Misalkan dua garis $k$ dan $l$ berturut-turut adalah garis 1 dan 2. Titik $B(x_1,y_1)$ terletak pada garis $k$ dan titik $C(x_2,y_2)$ terletak pada garis $l$. Karena garis $k$ dan $l$ saling tegak lurus maka terbentuk segitiga siku-siku $OBC$ yang diilustrasikan pada gambar dibawah ini
Gradien Dua Garis Tegak Lurus
Telah diketahui bahwa gradien garis $k$ dan garis $l$ berturut-turut
$$m_{1}=\dfrac{y_{1}-0}{x_{1}-0}=\frac{y_1}{x_1}$$ $$m_{2}=\dfrac{y_{2}-0}{x_{2}-0}=\frac{y_2}{x_2}$$ Selanjutnya akan dibuktikan $m_{1}m_{2}=-1$

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik diperoleh panjang sisi segitiga $OBC$ yakni
$$BC=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ $$OB=\sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-0)^2}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$ $$OC=\sqrt{(x_2-0)^2+(y_2-0)^2}=\sqrt{x_2^2+y_2^2}$$
Segitiga $OBC$ merupakan segitiga siku-siku di $O$, maka berlaku rumus pythagoras
\begin{split}
& BC^2=OB^2+OC^2\\
\Rightarrow & x_2^2-2x_1x_2+x_1^2+y_2^2-2y_1y_2+y_1^2 = x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\\
\Rightarrow & -2x_1x_2-2y_1y_2 = 0\\
\Rightarrow & -2y_1y_2 = 2x_1x_2\\
\Rightarrow & y_1y_2 = -x_1x_2\\
\Rightarrow & \frac{y_1y_2}{x_1x_2} = -1\\
\Rightarrow & \frac{y_1}{x_1} \cdot \frac{y_2}{x_2} = -1\\
\Rightarrow & m_{1}m_{2}=-1
\end{split}

Click to comment