Type something and hit enter

author photo
By On
Soal Ujian Sekolah untuk SMA terdiri dari 10 soal pilihan ganda dengan lima pilihan. Seandainya kita menjawab secara acak semua soal, berapa peluang kalau jawaban yang dipilih benar semua ? Berapa peluang kalau jawaban yang kita pilih salah semua ? Berapa peluang jawaban yang kita pilih tepat 5 saja yang benar ? atau berapa peluang paling sedikit 3 jawaban yang dipilih benar ?

Permasalahan diatas dapat diselesaikan menggunakan konsep distribusi binomial. Permasalahan peluang yang dapat diselesaikan menggunakan distribusi binomial memiliki syarat
  1. Setiap percobaan adalah saling bebas
  2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil yang dilambangkan dengan “SUKSES” dan “GAGAL”
  3. Peluang “SUKSES” setiap percobaan tetap, yang dilambangkan dengan $p$. Begitu juga dengan peluang “GAGAL” di setiap percobaan tetap, yang dilambangkan dengan $1-p$

Misalkan akan dihitung peluang menjawab benar tepat 4 soal secara acak dari 10 soal pilihan ganda. Peluang untuk menjawab dengan benar sebuah soal adalah $\frac{1}{5}$ dan peluang menjawab dengan salah sebuah soal adalah $\frac{4}{5}$. Karena soal tersebut adalah pilihan ganda, maka antara jawaban satu soal dengan soal yang lain tidak saling mempengaruhi, Dengan demikian percobaan ini adalah kejadian saling bebas. Salah satu cara menjawab tepat 4 soal dengan benar dari 10 soal adalah menjawab 4 soal pertama dengan benar dan 6 soal berikutnya dengan salah, yang kemudian disingkat dengan BBBBSSSSSS. Peluang untuk menjawab dengan kriteria tersebut adalah
\begin{split} & \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}\\ = & \left( \frac{1}{5} \right)^4 \left( \frac{4}{5} \right)^6 \end{split}
Tetapi jawaban $\left ( \frac{1}{5} \right )^{4}\left ( \frac{4}{5} \right )^{6}$ masih belum benar karena terdapat banyak kombinasi jawaban yang mungkin untuk menjawab 4 soal dengan benar dari 10 soal. Ilustrasinya seperti berikut ini, kemungkinan yang dapat digunakan adalah

BBBBSSSSSS, SBBBBSSSSS, SSBBBBSSSS, BSBBBSSSSS,… dan seterusnya.

Untuk menghitung banyaknya kemungkinan tersebut bisa menggunakan kombinasi yaitu \(\binom{10}{4}\) . Sehingga peluang menjawab tepat 4 soal dengan benar adalah \(\binom{10}{4}\left ( \frac{1}{5} \right )^{4}\left ( \frac{4}{5} \right )^{6}\)

Permasalahan diatas dapat diselesaikan untuk setiap x=0,1,2,3,...,10 dengan x menyatakan banyaknya jawaban benar dari menjawab 10 soal secara acak. Peluang untuk menjawab tepat x benar dilambangkan dengan $P(x)$ \[P\left ( x \right )=\binom{10}{x}\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}\left ( \frac{4}{5} \right )^{p-x}\] Peluang menjawab semua soal dengan benar adalah \(P\left ( 10 \right )=\binom{10}{10}\left ( \frac{1}{5} \right )^{10}\left ( \frac{4}{5} \right )^0= 0.0000001024\)

Peluang menjawab semua soal dengan salah berarti tidak ada jawaban benar adalah \(P\left ( 0 \right )=\binom{10}{0}\left ( \frac{1}{5} \right )^{0}\left ( \frac{4}{5} \right )^{10}= 0.1073741824\)

Fungsi Distribusi Binomial

\[P\left ( x \right )=\binom{n}{x}\left ( p \right )^{x}\left ( 1-p \right )^{p-x}\] Dengan
$P\left ( x \right )=$ peluang “SUKSES” sebanyak $x$ dari $n$ percobaan
$n=$ banyak percobaan
$x=$ banyak “SUKSES” ; x= 0,1,2,…,n
$p=$ peluang sukses dalam sekali percobaan}
\(\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{\left ( n-x \right )!x!}\)

Click to comment