Type something and hit enter

author photo
By On
Bilangan sangat penting karena setiap hari orang menggunakan bilangan, baik kegiatan yang sederhana seperti menghitung uang, sampai yang rumit yang digunakan seorang engineer untuk mendesain sebuah peralatan canggih. Untuk perhitungan sederhana cukup menggunakan bilangan bulat dan pecahan, namun ada permasalahan yang penyelesaiannya tidak cukup menggunakan bilangan bulat atau pecahan.

Berikut adalah penjelasan mengenai beberapa jenis bilangan yang menurut saya harus diketahui.

Bilangan Asli

Bilangan yang paling sederhana yang adalah bilangan asli yang digunakan untuk membilang. Himpunan bilangan asli biasa dilambangkan dengan N (Natural). bilangan-bilangan asli ini adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...

Bilangan asli terkecil adalah 1 dan tidak ada bilangan asli yang terbesar karena jika dipilih sebuah bilangan asli secara acak akan ada bilangan asli yang lain yang lebih besar dari bilangan asli yang telah dipilih. Jadi dapat dikatakan banyak bilangan asli adalah tak berhingga.

Jika dua buah bilangan asli dijumlahkan maka hasilnya adalah bilangan asli juga, contohnya 2 dan 5 adalah bilangan asli, 2+5=7 juga adalah bilangan asli. Demikian pula jika dua buah bilangan dikalikan maka hasilnya juga adalah bilangan asli, contohnya 2×5=10 adalah bilangan asli. sifat seperti ini dikatakan himpunan bilangan asli tertutup di bawah operasi penjumalahan dan tertutup di bawah operasi perkalian

Bilangan Bulat

Jika himpunan bilangan asli tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian, bagaimana dengan operasi pengurangan ?. 5−2 adalah bilangan asli karena 5−2=3 termasuk bilangan asli. Tapi bagaimana dengan 2−2 dan 2−5 ?. 2−2 dan 2−5 bukan bilangan asli. karena keterbatasan terhadap operasi pengurangan ini, muncullah istilah bilangan bulat.

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan 0 dan "lawan dari bilangan asli" yang biasa disebut dengan bilangan negatif, sehingga bilangan asli juga bisa disebut sebagai bilangan bulat positif. bilangan 0 bukan termasuk bilangan positif maupun negatif. Himpunan bilangan bulat biasa dilambangkan dengan Z (Zahlen, bahasa jerman yang artinya bilangan bulat), bilangan bulat ini adalah

... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

jika 1 adalah bilangan asli terkecil, lain hal lagi dengan bilangan bulat, tidak ada bilangan bulat yang terkecil maupun yang terbesar karena setiap memilih sebuah bilangan dari himpunan bilangan bulat akan ada bilangan yang lebih kecil dan lebih besar di himpunan bilangan bulat dari pada bilangan yang telah dipilih.

Misalkan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan bulat berurutan dengan $m < n$, maka tidak ada bilangan bulat $p$ yang lebih besar dari $m$ tetapi lebih kecil dari $n$ atau dengan kata lain tidak ada bilangan bulat antara $m$ dan $n$. Contohnya tidak ada bilangan bulat antara 2 dan 3.
Bilangan Rasional

Sama halnya dengan operasi pengurangan memunculkan konsep baru yaitu himpunan bilangan bulat, operasi pembagian juga memunculkan konsep baru. $\frac{10}{2}$ termasuk bilangan bulat karena $\frac{10}{2}=5$ adalah bilangan bulat. Bagaimana dengan $\frac{2}{5}$ ?, tentu saja $\frac{2}{5}$ bukan sebuah bilangan bulat, kerena keterbatasan bilangan bulat terhadap operasi pembagian ini muncul konsep baru yaitu bilangan rasional.

Bilangan rasional adalah bilangan yang berbentuk \(\frac{a}{b}\) dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$. Bilangan rasional lebih dikenal orang dengan nama bilangan pecahan dan himpunan bilangan rasional biasa dilambangkan dengan Q (Quotient). Beberapa contohnya adalah \[\frac{2}{5} \text{, } 0.5 \text{, } -1.333... \text{, } 0,121212...\text{, } \frac{4}{2}\] Berbeda dengan bilangan bulat, setiap memilih dua bilangan $m$ dan $n$ di himpunan bilangan rasional dengan $m < n$ akan selalu ada bilangan rasional $q$ yang lebih besar dari $m$ dan lebih kecil dari $n$. contohnya diantara $\frac{1}{2}$ dan $\frac{3}{4}$ ada bilangan $\frac{5}{8}$. Sifat seperti ini disebut sifat padat bilangan rasional.

Bilangan Irasional

"Sebuah segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisi tegaknya 1, berapakah panjang sisi miringnya ?". Untuk menentukan jawabannya bisa menggunakan rumus pythagoras, tetapi jawaban untuk pertanyaan tersebut tidak ada di ketiga himpunan bilangan yang telah dijelaskan. sudah tau kan akibatnya apa, muncul konsep bilangan baru.

Dengan menggunakan rumus pythagoras, didapatkan panjang sisi miringnya sama dengan \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\) tidak dapat dinyatakan dengan bentuk \( \frac{a}{b}\) dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$, untuk buktinya lain kali akan saya coba jelaskan. jadi dapat dikatakan bahwa bukan bilangan rasional, contoh bilangan irasional yang lain adalah \[e \text{, } \pi \text{, } \sqrt{3} \text{, } \log 5\] Bilangan Real

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian dari bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bagian dari bilangan irasional. Kalau yang terakhir saya coret karena memang salah, jelas kok dari definisi bilangan Rasional dan Irasional yang mengakibatkan kedua himpunan saling lepas. Kalau kedua himpunan ini saling lepas, ya gabungkan saja. Jika Himpunan bilangan rasional digabungkan dengan himpunan bilangan irasional maka hasilnya adalah bilangan Real.

Bilangan Kompleks

Untuk menyelesaikan panjang sisi miring segitiga pada permasalahan yang dijelaskan tadi sama saja dengan menyelesaikan persamaan \(x^2=2\). Seandainya persamaan tersebut diubah menjadi \(x^2=-2\), cara penyelesaiannya sama saja, cari bilangan $x$ sedemikian sehingga jika $x$ dikuadratkan hasilnya sama dengan $-2$. Caranya sih gampang, tapi nilai $x$ yang dicari tidak akan ditemukan di himpunan-himpunan bilangan yang telah dijelaskan tadi. akibatnya sudah tau kan (lagi), muncul bilangan baru yakni bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk $a+bi$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan real dan \(i=\sqrt{-1}\). $a$ disebut bagian real dan $b$ disebut bagian imajiner. Jika bagian imajiner suatu bilangan kompleks adalah 0 maka bilangan tersebut adalah bilangan real. Jadi dapat dikatakan himpunan bilangan real adalah himpunan bagian dari bilangan kompleks

Sifat unik dari bilangan kompleks yang bukan bilangan real adalah tidak bisa diurutkan, yakni tidak memungkinkan untuk membuat relasi kurang dari atau lebih dari diantara dua bilangan kompleks berbeda. Relasi yang bisa dibuat adalah relasi sama dengan diantara dua buah bilangan kompleks. Misalkan $u$ dan $v$ adalah bilangan kompleks dengan $u=a+bi$ dan $v=p+qi$ , $u=v$ jika dan hanya jika $a=p$ dan $b=q$.

Bilangan Aljabar

Akar dari \(f\left ( x \right )=x^{2}+1\) adalah bilangan kompleks. Bilangan kompleks ditemukan dalam pencarian akar dari suku banyak. Misalkan suku banyaknya dibuat secara umum yaitu $p\left ( x \right )=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ dengan \(a_{i}\) adalah bilangan rasional. Setiap bilangan kompleks yang menjadi akar \(p\left ( x \right )\) disebut bilangan aljabar. contohnya \[1\text{, }-1\text{, }i\text{, }-i\text{, }1+2i\text{, }1-2i\text{, } \sqrt{2}\text{, } -\sqrt{2}\] Bilangan Transcendental

Tidak semua bilangan kompleks yang dapat menjadi akar sebuah suku banyak berkoefisien bilangan rasional. contohny \[e \text{, } \pi \text{, } 0.12345678910111213... \text{, } 2^{\sqrt{2}}\] Bilangan yang bukan merupakan akar suku banyak berkoefisien rasional disebut dengan bilangan transcendental. Setiap bilangan transcendental pasti adalah bilangan irasional tetapi suatu bilangan irasional belum tentu transcendental.

Berikut merupakan diagram venn dari kesemua himpunan bilangan yang telah dijelaskan di atas.

Bilangan

Ada yang mau menambahkan ?

Click to comment