Bukti Aturan Cosinus

Alternatif bukti aturan cosinus
Aturan cosinus merupakan perumuman dari rumus pythagoras. Pada rumus pythagoras berlaku jumlah kuadrat panjang sisi tegak segitiga siku-siku sama dengan kuadrat panjang sisi miringnya. Sedangkan pada segitiga sembarang seperti pada gambar diatas berlaku rumus \[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos A\] Berikut adalah alternatif pembuktian rumus diatas

Alternatif 1
Alternatif bukti aturan cosinus
Perhatikan gambar diatas. Segitiga BDC merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku \[a^{2}=y^{2}+\left ( c-x \right )^{2} \text{ ...(i)}\] \[y^{2}=b^{2}-x^{2} \text{ ...(ii)}\] \[x=b \cos A \text{ ...(iii)}\] Dari persamaan (i) \begin{split}
a^{2} & =y^{2}+c^{2}-2cx+x^{2}\\
& =b^{2}-x^{2}+c^{2}-2cx+x^{2}\\
& =b^{2}+c^{2}-2cx\\
& =b^{2}+c^{2}-2bc \cos A
\end{split}
Alternatif 2
Alternatif bukti aturan cosinus
Segitiga BEF sebangun dengan segitiga DCF maka \begin{split}
& EF \times FC=DF \times FB\\
\Rightarrow & b(2c\cos \theta-b)=(c+a)(c-a)\\
\Rightarrow & 2bc \cos \theta -b^{2}=c^{2}-a^{2}\\
\Rightarrow & a^{2} =b^{2}+c^{2}-2bc \cos \theta
\end{split}

Comments