Type something and hit enter

author photo
By On
Soal Matematika UN 2015 tentang Dimensi 3 : Jarak antara Titik dan Garis
Diketahui kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke garis CM adalah...

Jarak titik C dan garis EM adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik E ke CM dan garis ruas garis tersebut harus tegak lurus dengan EM. Inilah yang menjadi permasalahan siswa yang tidak bisa menentukan sebuah segmen harus dibuat ke "arah" mana agar tegak lurus dengan CM.
Soal Matematika UN 2015 tentang Dimensi 3 : Jarak antara Titik dan Garis
Garis CM bisa diperpanjang sampai berapapun yang diinginkan sampai bisa dibuat segmen garis yang melalui E dan memotong CM secara tegak lurus. Untuk mempermudah gambaran tentang permasalahan ini kita sketsa segitiga EMC pada kubus dan gambarkan di tempat lain seperti berikut.
Soal Matematika UN 2015 tentang Dimensi 3 : Jarak antara Titik dan Garis
Segitiga MBC adalah segitiga siku-siku di B dengan panjang BC = 4cm, BM = 2 cm (karena M titik tengah AB). Dengan menggunakan rumus pythagoras didapatkan panjang MC adalah \(\sqrt{BC^2+BM^2}=\sqrt{20}\). Dengan menggunakan cara yang sama panjang ME juga \(\sqrt{20}\). EC diagonal ruang maka panjangnya \(4\sqrt{3}\).
Soal Matematika UN 2015 tentang Dimensi 3 : Jarak antara Titik dan Garis
Dari gambar diatas, CM telah diperpanjang sehingga dapat dibuat ruas garis dari E ke CM secara tegak lurus. Ruas garis ini adalah EN dan akan dihitung panjangnya.

Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga MCE nilai dari
\begin{split}
& \cos \alpha = \frac{CM^2 + CE^2 - ME^2}{2 \cdot CM \cdot CE}\\
\Leftrightarrow & \cos \alpha = \frac{\left(\sqrt{20}\right)^2 + \left(4 \sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{20}\right)^2}{2 \cdot \sqrt{20} \cdot 4 \sqrt{3}}\\
\Leftrightarrow & \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{15}}
\end{split}
Dengan menggunakan identitas \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1\) dan kenyataan bahwa $\alpha$ adalah sudut lancip maka
\begin{split}
& \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{5}\\
\Leftrightarrow & \frac{EN}{EC}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\\
\Leftrightarrow & \frac{EN}{4 \sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\\
\Leftrightarrow & EN=\frac{4}{5}\sqrt{30}
\end{split}
Jadi jarak titik E ke CN adalah \[\dfrac{4}{5}\sqrt{30}\]

Click to comment