Type something and hit enter

Laman

author photo
By On
Sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan yang memiliki bentuk umum
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, b1, a2 dan b2 adalah bilangan real dan tidak semuanya sekaligus bernilai 0. Seperti persamaan linier, sistem persamaan linier (selanjutnya disingkat SPL) juga terdapat variabel yang tentu saja tidak diketahui nilainya dan nilai dari variabel yang memenuhi sistem persamaan linier disebut dengan penyelesaian dari SPL. Kata "sistem" pada sistem persamaan linier dua variabel merujuk pada terdapatnya lebih dari 1 persamaan yang harus diselesaikan secara bersamaan.

Metode Penyelesaian SPLDV

Ada beberapa cara menyelesaikan SPLDV. Beberapa di antaranya adalah metode substitusi, eliminasi dan campuran antara eliminasi dan substitusi.

1. Metode Substitusi

Pilih salah satu dari dua persamaan yang paling sederhana, kemudian tuliskan kembali persamaan tersebut dalam x = f(y) atau y = g(x). Substitusikan x = f(y) atau y = g(x) ke persamaan yang lain sehingga terbentuk persamaan linier satu variabel dalam x atau y kemudian selesaikan persamaan tersebut. Setelah diperoleh penyelesaian x atau y substitusikan ke x = f(y) atau y = g(x) agar diperoleh nilai variabel yang belum diketahui.

Contoh 1: tentukan nilai x dan y yang memenuhi SPLDV dengan metode substitusi
x + 3y = −5 ...(i)
2xy = 4 ...(ii)
Penyelesaian: Pilih persamaan (i), kemudian tuliskan menjadi x = −3y − 5 dan substitusikan ke persamaan (ii)
2xy = 4
⇔ 2(−3y − 5) − y = 4
⇔ −6y − 10 − y = 4
⇔ −7y = 14
y = −2
Substitusikan nilai y = −2 ke persamaan x = −3y − 5 diperoleh x = −3(−2) − 5 = 1.

2. Metode Eliminasi

Eliminasi berarti menghilangkan salah satu variabel dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan pada SPLDV. Namun bisa saja ketika dikurangkan atau dijumlahkan kedua variabel masih muncul, hal ini dikarenakan koefisien variabel yang ingin dieleminasi masih sama. Oleh karena itu, sebelum kedua persamaan dikurangkan atau dijumlahkan terlebih dahulu salah satu atau kedua persamaan diubah dengan cara mengali atau membagi kedua persamaan.

Contoh 2: tentukan nilai x dan y yang memenuhi SPLDV dengan metode eliminasi
x + 3y = −5 ...(i)
2xy = 4 ...(ii)
Penyelesaian: Untuk memperoleh nilai x, terlebih dahulu kita menghilangkan variabel y dengan cara mengeliminasinya. Koefisien variabel y pada kedua persamaan di atas tidaklah sama, oleh karena itu terlebih dahulu dibuat sama dengan cara mengalikan persamaan (i) dengan 1 dan mengalikan persamaan (ii) dengan 3.
x + 3y = −5 |×1| x + 3y = −5
2xy = 4    |×3| 6x − 3y = 12
Agar variabel y hilang, jumlahkan kedua persamaan di atas sehingga diperoleh 7x = 7 ⇔ x = 1. Berikutnya untuk mendapat nilai y, eliminasi variabel x dengan metode yang sama untuk menemukan nilai x. Kalikan persamaan (i) dengan 2 dan kalikan persamaan (ii) dengan 1.
x + 3y = −5 |×2| 2x + 6y = −10
2xy = 4    |×1| 2xy = 4
Kurangkan kedua persamaan agar variabel x hilang dari sistem tersebut. Dari hasil pengurangan tersebut diperoleh 7y = −14 ⇔ y = −2.

3. Metode gabungan eliminasi dan substitusi

Pada metode ini terlebih dahulu digunakan metode eliminasi untuk menemukan nilai salah satu variabel. Kemudian substitusikan nilai variabel tersebut ke persamaan yang paling sederhana untuk menemukan nilai variabel yang lain.

Contoh 3: tentukan nilai x dan y yang memenuhi SPLDV dengan metode eliminasi dan substitusi
x + 3y = −5 ...(i)
2xy = 4 ...(ii)
Dengan mengeliminasi y seperti pada contoh 2, didapatkan nilai x = 1. Substitusikan nilai x = 1 ke persamaan (ii) untuk mendapatkan nilai y
2xy = 4
⇔ 2⋅1 − y = 4
⇔ 2 − y = 4
⇔ −y = 4 − 2
⇔ −y = 2
y = −2

SPLDV dan Titik Potong Dua Garis

SPLDV dapat kita interpretasikan kedalam dua garis yang terletak pada bidang kartesius. Kedua garis tersebut bisa berpotongan di satu titik, tidak berpotongan sama sekali jika keduanya sejajar dan bisa berpotongan di banyak titik jika kedua garis berimpit.
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Pada gambar di atas terdapat dua garis yang berpotongan di tepat satu titik. Titik potong tersebut merupakan penyelesaian dari SPLDV yang terbentuk dari kedua garis.
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Pada gambar di atas terdapat dua garis yang saling sejajar. Karena kedua garis tersebut sejajar, maka tidak mungkin terdapat titik potong di antara keduanya. Ini berarti SPLDV yang terbentuk dari dua persamaan garis di atas tidak memiliki penyelesaian. Misalkan kedua garis tersebut memiliki persamaan a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2, kedua garis tersebut sejajar jika berlaku a1 : a2 = b1 : b2c1 : c2
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Pada gambar di atas terlihat hanya satu garis saja padahal jika diperhatikan baik-baik ada terdapat dua garis. Kedua garis tersebut berhimpit satu sama lain yang membuat keduanya terlihat hanya satu garis. Seperti halnya dengan sketsa dua garis sejajar dapat diketahui dua garis berimpit jika berlaku a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2

Click to comment