Type something and hit enter

Laman

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{2}{x}\right)x^2\sin \dfrac{1}{x}}=$ ...

Pembahasan
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{2}{x}\right)x^2\sin \dfrac{1}{x}}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y^2\sin 3y}{\left(1-\cos 2y \right)\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y^2\sin 3y}{\left(1-\left(1-2\sin^2 y\right) \right)\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y^2\sin 3y}{2\sin^2 y\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \frac{3}{2}\frac{y}{\sin y}\frac{y}{\sin y}\frac{\sin 3y}{\sin y}\\ = & \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 3\\ = & \frac{3}{2} \end{split}
Soal #12
Jika kurva $y=\dfrac{x^3-3x+2}{\dfrac{1}{a}x(x^2-ax-6)}$ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ...

Pembahasan
\begin{split} y = & \frac{x^3-3x+2}{\dfrac{1}{a}(x^2-ax-6)}\\ = & \frac{a(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x^2-ax-6)} \end{split} Asimtot dari fungsi tersebut diperoleh dari penyebut = 0 yakni $$x(x^2-ax-6)=0$$ Dari persamaan di atas diperoleh salah satu asimtot tegaknya adalah x = 0.

Agar terdapat dua asimtot tegak maka haruslah faktor $x^2-ax-6$ memiliki tepat satu faktor yang sama dengan pembilang agar bisa dicoret.
Kasus 1# Jika faktor yang sama tersebut adalah $x-1$ maka $a=-5$ sehingga \begin{split} & y=\frac{-5(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x^2+5x-6)}\\ \Rightarrow & y = \frac{-5(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x+6)(x-1)}\\ \Rightarrow & y = \frac{-5(x-1)(x+2)}{x(x+6)} \end{split} dan asimtot datarnya adalah \begin{split} & y = \lim_{x\to \infty} \frac{-5(x-1)(x+2)}{x(x+6)}\\ \Rightarrow & y = -5 \end{split} Kasus 2# Jika faktor yang sama tersebut adalah $x+2$ maka $a=1$ sehingga \begin{split} & y=\frac{1(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x^2-x-6)}\\ \Rightarrow & y = \frac{(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x-3)(x+2)}\\ \Rightarrow & y = \frac{(x-1)(x-1)}{x(x-3)} \end{split} dan asimtot datarnya adalah \begin{split} & y = \lim_{x\to \infty} \frac{(x-1)(x-1)}{x(x-3)}\\ \Rightarrow & y = 1 \end{split} Jadi asimtot datar yang mungkin adalah y = 1 atau y = −5
Soal #13
Misalkan f(x) = cos(cos2x), maka f'(x) = ...

Pembahasan
Misalkan u = v2 dan v = cos x maka f = cos u sehingga \begin{split} f'(x) = & \frac{df}{dx}\\ = & \frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}\\ = & -\sin u \cdot 2v \cdot -\sin x\\ = & \sin v^2 \cdot 2\cos x \sin x\\ = & \sin (\cos^2 x) \sin 2x\\ = & \sin 2x \sin (\cos^2 x) \end{split}
Soal #14
Jika m adalah gradien garis singgung dari kurva $y = (x-1)^2+1$ yang melalui $(0,t)$, maka m = ...

Pembahasan
Persamaan garis singgung tersebut melalui $(0,t)$ dan bergradien m maka persamaannya adalah \begin{split} & y-t=m(x-0)\\ \Rightarrow & y = mx + t \end{split} Garis tersebut merupakan garis singgung maka diskriminan dari hasil subsitusi garis dan kurva adalah 0. Hasil substitusi ini adalah \begin{split} & (x-1)^2+1=mx + t\\ \Rightarrow & x^2-2x+1+1=mx+t\\ \Rightarrow & x^2-(2+m)x+(2-t)=0 \end{split} Diskriminan = 0 berarti \begin{split} & b^2-4ac=0\\ \Rightarrow & (-(2+m))^2-4(2-t)=0\\ \Rightarrow & (m+2)^2=4(2-t)\\ \Rightarrow & m+2=\pm \sqrt{4(2-t)}\\ \Rightarrow & m=-2 \pm 2\sqrt{2-t} \end{split}
Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment