Type something and hit enter

Laman

author photo
By On
Pertidaksamaan Rasional merupakan pertidaksamaan yang penyebutnya memuat variabel, sedangkan Persamaan Irasional merupakan pertidaksamaan yang variabel ada di dalam tanda akar. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini harus memperhatikan syarat yang ada, penyebut tidak boleh sama dengan 0 dan yang di dalam tanda akar harus lebih dari atau sama dengan 0. Materi ini diajarkan pada tingkat 10 SMA.

Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan yang memuat pecahan yang penyebutnya memuat variabel. Untuk menyelesaikannya diperlukan persyaratan penyebut tidak sama dengan $0$

Contoh 1 : Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{x^2-1}{x-3} \leq 0$

Penyelesaian :

Langkah Pertama : Menentukan syaratnya

Penyebut dari ruas kiri tidak boleh sama dengan $0$ $$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ Langkah Kedua : Menentukan penyelesainnya

Karena ruas kanan sama dengan $0$, langsung faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier baik pembilang maupun penyebut $$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-3} \leq 0$$ Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $x-1=0$, $x+1=0$ dan $x-3=0$, tuliskan kedalam bentuk eksplisit dalam $x$ diperoleh $x=1$, $x=-1$ dan $x=3$. Selanjutnya buat garis bilangan dan uji titik selain $−1$, $1$ dan $3$ di pertidaksamaan
Interval Titik Uji Hasil titik uji Keterangan
$x < -1$ $x=-2$ $\frac{(-2-1)(-2+1)}{-2-3}=-\frac{3}{5} \leq 0$ Memenuhi
$-1 < x < 1$ $x=0$ $\frac{(0-1)(0+1)}{0-3}=\frac{1}{3} \leq 0$ Tidak Memenuhi
$1 < x < 3$ $x=2$ $\frac{(2-1)(2+1)}{2-3}=-3 \leq 0$ Memenuhi
$x < 3$ $x=4$ $\frac{(4-1)(4+1)}{4-3}=15 \leq 0$ Tidak Memenuhi
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional
Dengan ilustrasi pada gambar dapat diketahui penyelesaiannya adalah $x \leq -1$ atau $1 \leq x < 3$

***

Contoh 2: Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{x^2-3x+1}{x^2+2x} \leq \dfrac{-2}{x+2}$

Penyelesaian

Langkah Pertama: Menentukan syaratnya

Pertidaksamaan di atas memiliki penyebut $x^2 + 2x$ dan $x + 2$, oleh karenanya \begin{split} & x^2 + 2x \neq 0\\ \Rightarrow & x(x+2) \neq 0\\ \Rightarrow & x \neq 0 \text{ dan } x+2 \neq 0 \end{split} dengan kata lain $x \neq 0$ dan $x \neq -2$

Jangan lupakan penyebut yang satunya lagi $x+2 \neq 0$ atau $x \neq -2$.

Dari dua penyebut di atas diperoleh syarat $x \neq 0$ dan $x \neq -2$

Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya

Dimulai dengan membuat ruas kanan = $0$ $$\frac{x^2-3x+1}{x^2+2x} - \frac{-2}{x+2} \leq 0$$ Kemudian sederhanakan pecahan di ruas kiri menjadi satu pecahan saja dengan cara mengurangkannya. Perhatikan penyebut pada pecahan pertama dapat difaktorkan menjadi $x(x+2)$ $$\frac{x^2-3x+1}{x(x+2)} - \frac{-2}{x+2} \leq 0$$ Samakan penyebutnya dengan cara mengalikan penyebut dan pembilang pada pecahan kedua dengan $x$ $$\frac{x^2-3x+1}{x(x+2)} - \frac{-2x}{x(x+2)} \leq 0$$ Operasikan pembilangnya \begin{split} & \frac{x^2-3x+1-(-2x)}{x(x+2)}\leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-x+1}{x(x+2)} \leq 0 \end{split} Pecahan sudah sederhana, berikutnya faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier jika mungkin.

Pembilang pada pertidaksamaan di atas relatif sulit untuk difaktorkan, oleh karena itu gunakan rumus ABC. Namun setelah dihitung diskrminannya diperoleh diskriminan negatif $D=b^2-4ac = 1-4 = -3$. Jika Diskriminan suatu fungsi kuadrat negatif berarti fungsi kuadrat tersebut definit. untuk soal ini, fungsi $x^2-x+1$ adalah definit positif atau nilainya selalu positif untuk semua $x$ sehingga kedua ruasnya sah untuk dibagi dengan $x^2-x+1$ \begin{split} & \frac{x^2-x+1}{x(x+2)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{\frac{x^2-x+1}{x(x+2)}}{x^2-x+1} \leq \dfrac{0}{x^2-x+1}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x(x+2)} \leq 0 \end{split} $x$ dan $x + 2$ adalah pembuat $0$ dari pertidaksamaan di atas dengan kata lain $x=0$ dan $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.

Selanjutnya buat garis bilangan dan uji titik selain $-2$ dan $0$ di pertidaksamaan
Interval Titik Uji Hasil titik uji Keterangan
$x \leq −2$ $x = -3$ $\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{-3(-3+2)}=\frac{1}{3} \leq 0$ Tidak Memenuhi
$-2 \leq x \leq 0$ $x = -1$ $\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{-1(-1+2)}=\frac{1}{-1} \leq 0$ Memenuhi
$x \geq 0$ $x=1$ $\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{1(1+2)}=\frac{1}{3} \leq 0$ Tidak Memenuhi
Ilustrasi seperti pada gambar di bawah, titik $x=-2$ dan $x=1$ diberi tanda bulatan putih karena sesuai syarat pertidaksamaan yaitu $x \neq 0$ dan $x \neq -2$
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional
Dari garis bilangan di atas diperoleh penyelesaian $-2 < x < 0$

Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akar. Untuk menyelesaiakannya diperlukan persyaratan yang di dalam tanda akar harus lebih dari atau sama dengan 0. Selain itu diperlukan syarat yang lain-lain mengingat bentuk akar adalah suatu bilangan positif.

Contoh 3: Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{2x+4} > \sqrt{-x+2}$

Penyelesaian

Langkah Pertama: Menentukan syaratnya

Ada dua fungsi yang berada dalam tanda akar oleh karena itu keduanya harus lebih dari atau sama dengan $0$
  • $2x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$
  • $-x+2 \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$

Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya

Dengan memperhatikan sifat bentuk akar yang selalu positif dan sifat pertidaksamaan maka sah untuk mengkuadratkan kedua ruas kemudian menyelesaikan pertidaksamaan yang terbentuk \begin{split} & \sqrt{2x+4} > \sqrt{-x+2}\\ \Rightarrow & (\sqrt{2x+4})^2 > (\sqrt{-x+2})^2\\ \Rightarrow & 2x+4 > -x+2\\ \Rightarrow & 3x > -2\\ \Rightarrow & x > -\dfrac{2}{3} \end{split} Sketsakan syarat-syarat dan penyelesaian di atas
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional
Garis bilangan pertama adalah garis bilangan untuk $x \geq -2$, garis bilangan kedua untuk $x \leq 2$ dan garis bilangan ketiga untuk $x > -\dfrac{2}{3}$. Garis bilangan terakhir atau yang keempat dari atas merupakan tempat untuk mensketsa irisan dari syarat dan penyelesaian. Pada garis bilangan ke empat dapat diketahui dengan mudah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah $-\dfrac{2}{3} < x \leq 2$

***

Contoh 4: Tentukan semua nilai $x$ yang memenuhi $2\sqrt{x-1} \leq x-2$

Penyelesaian

Langkah Pertama: Menentukan syaratnya

Pada ruas kiri terdapat bentuk akar, oleh karena itu syaratnya adalah $$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$ Di ruas kiri terdapat bentuk akar yang diketahui selalu positif, karena ruas kanan lebih dari ruas kiri maka haruslah ruas kanan lebih dari atau sama dengan 0 $$x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$ Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya

Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan diperoleh \begin{split} & 2\sqrt{x-1} \leq x-2\\ \Rightarrow & (2\sqrt{x-1})^2 \leq (x-2)^2\\ \Rightarrow & 4x-4 \leq x^2-4x+4\\ \Rightarrow & 0 \leq x^2-8x+8\\ \Rightarrow & x^2-8x+8 \geq 0 \end{split} Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh pembuat 0 pada persamaan di atas adalah $x=4+2\sqrt{2}$ dan $x=4-2\sqrt{2}$. Dengan metode menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat diperoleh $x \leq 4-2\sqrt{2}$ atau $x \geq 4+2\sqrt{2}$

Sketsakan syarat-syarat dan penyelesaian di atas
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional
Dari sketsa diperoleh penyelesaiannya adalah $x \geq 4+2\sqrt{2}$

5 komentar

avatar

sangat membantu, tetapi perlu ada sedikit ralat
pada contoh 1 di bagian kesimpulan harusnya 1<=x<3 bukan 1<=x<0
terus pada contoh dua ketika kedua ruas dibagi dengan x^2-x+1 dibaris pertama bagian pembilang tertulis x^2+x+1, seharusnya x^2-x+1
terakhir di contoh 4(walaupun disitu tertulis contoh 3)
nilai x yg didapatkan dari rumus ABC salah seharusnya x1=4-2v2 dan x2=4+2v2 sehingga menghasilkan jawaban yg salah

terimakasih dan sukses selalu :)

avatar

untuk mrnentukan daerah hasil haruskah daerah yang memenuhi semua syarat atau tidak? bagaimana dengan contoh 3?

avatar

Terima kasih atas koreksinya :)

avatar

iya, harus memenuhi semua syarat

Click to comment