Type something and hit enter

Laman

author photo
By On
Akar dari persamaan kuadrat adalah nilai variabel yang membuat persamaan kuadrat menjadi kalimat yang bernilai benar. Contohnya $$x^2-5x+4=0$$ adalah kalimat yang bisa bernilai benar, bisa juga bernilai salah tergantung dari nilai variabel $x$ yang disubstitusikan. Jika disubstitusikan $x=2$ akan menghasilkan \[2^2-5 \cdot 2+4 = 0 \Rightarrow -2=0\] jelas ini adalah kalimat yang salah. Jika disubstitusikan $x=1$ akan menghasilkan \[1^2-5 \cdot 1+4 = 0 \Rightarrow 0=0\] tentu ini adalah kalimat yang benar. Inilah yang namanya menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu mencari akar-akarnya.

Ada tiga cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, pemfaktoran, kuadrat sempurna dan rumus ABC

1. Pemfaktoran

Teori dasar yang digunakan dalam cara pemfaktoran ini adalah untuk setiap bilangan $p$ dan $q$ \[pq=0 \Rightarrow p=0 \text{ atau } q=0\] Contoh 1 : Cari akar-akar dari \(x^2-4x-21=0\)

Penyelesaian : \begin{split} & x^2-4x-21=0 \\ \Rightarrow & (x-7)(x+3)=0\\ \Rightarrow & x-7=0 \text{ atau } x+3=0\\ \Rightarrow & x=7 \text{ atau } x=-3 \end{split} Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x=7$ atau $x=-3$

Silahkan baca tentang cara pemfaktoran di sini

2. Kuadrat Sempurna

Teori dasar yang digunakan dalam cara kuadrat sempurna adalah \[x^2=a \Rightarrow x=\sqrt{a} \text{ atau }x=-\sqrt{a}\] Tidak setiap persamaan kuadrat berbentuk kuadrat sempurna sehingga langkah pertama adalah membuatnya menjadi kuadrat sempurna dengan cara membuat koefisien $x^2$ menjadi 1 dan tidak ada konstanta di ruas kiri kemudian menjumlahkan setiap ruas dengan \(\left( \dfrac{b}{2}\right)^2\).

Contoh 2: Cari akar-akar dari \(2x^2-5x-12=0\) dengan menggunakan metode kuadrat sempurna

Penyelesaian : Pertama-tama kita buat koefisien $x^2$ menjadi 1 dengan cara membagi kedua ruas dengan 2 sehingga menjadi \[x^2-\frac{5}{2}x-6=0\] kemudian setiap ruas ditambahkan 6 agar di ruas kiri tidak ada konstanta \[x^2-\frac{5}{2}x=6\] Jumlahkan dengan \(\left( \dfrac{\frac{5}{2}}{2}\right)^2=\dfrac{25}{16}\) sehingga menjadi
\begin{split} & x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}\\ \Rightarrow & \left(x-\frac{5}{4}\right)^2=\frac{121}{16}\\ \Rightarrow & x-\frac{5}{4}=\sqrt{\frac{121}{16}} \text{ atau } x-\frac{5}{4}=-\sqrt{\frac{121}{16}}\\ \Rightarrow & x-\frac{5}{4}=\frac{11}{4} \text{ atau } x-\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}\\ \Rightarrow & x=\frac{11}{4}+\frac{5}{4} \text{ atau } x=-\frac{11}{4}+\frac{5}{4}\\ \Rightarrow & x=4 \text{ atau } x=-\frac{3}{2} \end{split}

3. Rumus ABC

Rumus ABC asalnya dari menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan metode kuadrat sempurna. Berikut ini penurunan rumusnya
\begin{split} & ax^2+bx+c=0\\ \Rightarrow & x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ \Rightarrow & x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\ \Rightarrow & x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\ \Rightarrow & \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{-4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow & x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ \Rightarrow & x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Rightarrow & x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{split}
Rumus di atas ini adalah rumus ABC yang sangat terkenal dan dapat digunakan untuk menentukan akar dari setiap persamaan kuadrat.

Click to comment